曲线 $y^{2}=x$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率圆方程为( )
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二、解析如果不知道什么是曲率圆,或者不知道如何求解曲率圆,可以查看荒原之梦考研数学的下面这两篇文章:
什么是曲率?什么是曲率圆?如何求解曲率圆的方程?解法一对于曲线 $y^{2}=x$, 我们可以将 $x$ 看作是 $y$ 的函数,因此就得到曲线:
$$x(y) = y^{2}$$
上面的曲线在点 $(0,0)$ 处的曲率为:
$$K=\left.\frac{\left|x^{\prime \prime}(y)\right|}{\left(1+\left[x^{\prime}(y)\right]^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right|_{(0,0)} = \frac{2}{(1+0)^{\frac{3}{2}}} = 2$$
于是该曲率圆的曲率半径为:
$$R=\frac{1}{K}=\frac{1}{2}$$
接下来,本应该按照公式计算曲率圆 $(x-\alpha)^{2} + (y – \beta)^{2}$ $=$ $R^{2}$ 中的圆心 $(\alpha, \beta)$.
但是,一般情况下,要求解的曲率圆的圆心都在一个特殊的位置,因此,我们可以先通过求解切线等方式,看一看是否能通过几何关系确定曲率圆的圆心。
对于曲线 $x(y) = y^{2}$, 我们计算其在点 $(0, 0)$ 处的切线,先计算斜率 $k$:$x(y) = y^{2} \Rightarrow$$x^{\prime}(y) = 2y \Rightarrow y = 0 \Rightarrow$$k = x^{\prime}(0) = 0$
于是:$x = ky + b \Rightarrow$$0 = 0 \cdot y + 0 \Rightarrow$$b = 0$
于是可知,曲线 $x(y) = y^{2}$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线为:$\textcolor{blue}{x = 0}$
也就是说,曲线 $x(y) = y^{2}$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线就是 $Y$ 轴。
图 01 是曲线 $x(y) = y^{2}$ 的函数图象:
图 01.根据圆形的几何特征,圆心位于切点内侧,距离切线(垂直距离)半径长度的地方,因此,该曲率圆的圆心为:
$$\left(\frac{1}{2}, 0\right)$$
因此,曲率圆方程为:
$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}$$
即:
$$x^{2}-x+y^{2}=0$$
解法二该解法与解法一的区别就是对曲线 $y^{2}=x$ 的处理方式不同——
在本解法中,我们将曲线 $y^{2}=x$ 看作是一个参数方程,之后,按照参数方程求曲率半径的公式求解。
首先,曲线 $y^{2}=x$ 对应的参数方程为:
$$\left\{\begin{array}{l} x(t) = y^{2}\\ y(t) = y\end{array}\right.$$
由这篇笔记可知,参数方程计算曲率的公式为:
$$K=\frac{\left|x^{\prime}(t) y^{\prime \prime}(t)-x^{\prime \prime}(t) y^{\prime}(t)\right|}{\left[x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)\right]^{\frac{3}{2}}}$$
于是,在 $(0,0)$ 处,该曲率圆的曲率为:
$$K=2$$
之后的计算步骤和解法一相同。
综上可知,要求解的曲率圆为:
$$x^{2}-x+y^{2}=0$$
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