求函数 $f(x, y)$ $=$ $x e^{\cos y}+\frac{x^{2}}{2}$ 的极值.
难度评级：
二、解析
首先，令 $f(x, y)$ $=$ $x e^{\cos y}+\frac{x^{2}}{2}$ 的一阶偏导等于零，确定可能的极值点：
$$\begin{cases}& f _ { x } ^ { \prime } = e ^ { \cos y } + x = 0 \\& f _ { y } ^ { \prime } = – x \sin y \cdot e ^ { \cos y } = 0\end{cases}$$
可得：
$$\begin{cases}x_{0} = -e^{(-1)^{k}} \\y_{0} = k \pi\end{cases}, \ k=0, \ \pm 1, \ \pm 2, \ \ldots$$
接着：
$$\begin{aligned}A= \\& f_{x x}^{\prime \prime}=1 \\ \\B= \\& f_{x y}^{\prime \prime}=0 \\ \\C= \\& f_{y y}^{\prime \prime}=-x\left(\cos y \cdot e^{\cos y}-\sin ^{2} y e^{\cos x}\right) = \\& e^{(-1)^{k}} \cdot(-1)^{k} \cdot e^{(-1)^{k}}\end{aligned}$$
由于：
$$\Delta=A C-B^{2}=e^{(-1)^{k}}(-1)^{k} \cdot e^{(-1)^{k}}$$
因此，当 $k$ 为奇数时, $\Delta=-e^{-2}0$，$(x_{0}, y_{0})$ 是极值点，且由于 $A=1>0$，因此 $(x_{0}, y_{0})$ 为极小值点。此时的极小值为:
$$f(-e, k \pi)=-e \cdot e+\frac{1}{2} e^{2}=\frac{-1}{2} e^{2}$$
其中, $k$ 为偶数.
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