凸集的定义: 设有D∈Rn,如果对任意的x,y∈D与任意的α∈[0,1],都有: αx + (1-α)y = 0, 那么称D为凸集。
**凸集的几何意义:**若两个点属于此集合,则这两个点上的任意一点均属于此集合。 有关凸集的性质: 定理证明: 凸集的加减数乘交集之后还是凸集,其中加需要两个凸集是临接的。
定理1.4.2: 下面这个定理比较容易理解:在一个集合D内,若对于任意个集合内的元素,他们的线性组合在集合内且线性组合的值之和为1,那么这个集合D是凸集。 这是理解方法: 定义1.4.2: **内点:**对于一个点x,若存在一个以其为中心的邻域,这个邻域属于凸集D,那么称x为内点。 **边界点:**对于一个点x,其任意小的邻域,都会既包含D中的点,又会包含D以外的点,那么这个点就叫做边界点。 闭包:
定义1.4.3: 在这里内积的大小的比较可以看成x,y在α上的投影的大小的比较,因为α的范数可以约掉。 定理1.4.3(投影定理): 设D是n维线性空间里的非空闭凸集,y是一个n维向量,但是y不在D里面,那么在D中就会存在一个唯一的点c: y与c的连线是距离是y到D的最小距离,并且 点c是y到D的最小距离点的充要条件是:D内任意一个点(除了c之外)减去c所形成的向量与c减去y所形成的向量的内积大于等于零。 很容易理解,当y不在D的“正上方”时,这个最小点一定是边界点。
定理1.4.4(点与凸集的分离定理): 凸集D,y不在这个D内,则存在一个非零n维向量α,一个常数β: 使得:α的转置乘以D内的任意一个n维向量小于或等于β,β一定小于α的转置乘以y。 两个向量的内积在这里要理解为(它本来就有这种几何意义):一个向量在另一个向量的方向上的投影,再乘以这个方向上的那个向量的大小,在这里α转置由于在两边都有,所以可以约掉(或者是说不看这个α)。所以两个向量的内积的比较大小在这里就是比较被投影向量x、y在α上的投影的大小
定理1.4.5(支撑超平面定理): 定义1.4.4: 设D是非空集,f是定义在D上的函数,如果对任意的x1,x2∈D,均有在这两点之间的点的函数值小于等于这两点的加权函数值之和,那么称f为D上的凸函数。 定义1.4.5:水平集 设f是定义在D上的函数,则集合Da = {x | f(x) < α , x ∈D }称为Da为函数f的α水平集。 定理1.4.6:若D是非空凸集,f是定义在D上的凸函数,则对任意的α∈R,f的水平集Dα是凸集。
定理1.4.7: f(x)为凸函数的充要条件是对任意的x,y∈Rn,一元函数φ(α) = f(x + αy)是关于α的凸函数。 定理1.4.8: 定理1.4.9: f(x)二阶连续可微,那么f(x)是D上的凸函数的充要条件是,f(x)的Hesse矩阵在D上是半正定的。
定理1.4.10: 如果f(x)的Hesse矩阵在D上是正定的,则f(x)在D上是严格凸函数,反之若f(x)是严格凸函数,则f(x)的Hesse矩阵在D上是半正定的。