相对于微积分而言，线性代数的版本要少很多，除数学专业和行健书院的同学外大多数同学都差不多。线性代数相对于微积分而言，理论和应用、计算的割裂并没有那么大，计算的过程和理解本身需要足够的理论知识来支撑。线性代数的曾用名应该是“线性代数与几何”，因为线性代数本身的理解拥有很多的几何背景（包括传统的空间几何和比较抽象的“几何”，即描述空间性质和对象），但目前使用的两套主流教材大都更偏代数一些，对于线性空间、子空间、直和分解这些内容涉及的并不算多。线性代数并不像微积分那样有明确的学习路线，可以采用启发式的学习路线（我们要解方程——用矩阵解方程——研究矩阵——解方程的本质——其他），也可以用从抽象到具体的学习路线（线性空间——矩阵表示——用矩阵研究线性空间的东西，即解方程——其他），涉及的范围也相对模糊（比如我知道有些老师讲的偏几何一些，会讲很多上面说的内容；有些老师就更代数一些，会讲很多矩阵论的东西），所以推荐大家博采众长，从不同的角度切入线性代数，会有更加深刻的认识。同时，线性代数同数学系开设的《高等线性代数》的差距并不和微积分和数学分析的差距那么大，同学们也可以参考高等线性代数的教材来弥补线性代数教材在几何方面的缺漏。

之所以这么起是因为线性代数相较于微积分的思维跨度有些大，如果想获得较好的学习体验，推荐自己把以下知识补一补（如果老师不讲的话）：

​1. 数学归纳法、反证法等数学证明方法的简单运用和掌握

​2. 数域的定义，常见数域

​3. 映射的定义，包括单射、满射、双射等

​4. 简单的空间解析几何

这些都是和线性代数本身关系不直接、但是会始终用到的东西，大家学过的话会舒适很多。

线性代数所涵盖的线性空间相对来说研究的都是比较具体的向量空间，因此学习时可以采用很多几何直观的方法（虽然三维以上没法画图，但很多关系其实还是很好想象的）。但在线性代数学习线性空间的主要目的是为了理解一些在矩阵和方程的解理论中常用的空间（比如行列空间、解空间等等），以及在以后各领域的专业课学习中，向量空间的建立也是常用的手段，所以对线性空间的理解决定了学习线性代数的上限。与微积分不同的是，在应用层面一些底层的原理是可以当成黑箱的，但线性代数的应用过程本身就要应用到大量的理论知识（否则根本搞不明白怎么去构造一个空间，也搞不明白诸如子空间这些东西在该空间中的具体含义），所以学习线性代数的时候一定不要浅尝辄止。

在题目方面，线性空间因为没有什么具体的东西（必须要结合矩阵），基本不会单独命题，单独命题大多都是应用反证法或者选择一组基来证明某些线性相关或者线性无关问题，基本都是固定的技巧。部分老师将线性空间作为首章内容进行讲解，其他的大多都会在学习完初步的矩阵论基础后，再利用线性空间的工具赋予其更加理论的解释。对于前者，同学们在初学时容易一头雾水，可以在学习到矩阵论后回来复习；对于后者，同学们也应类似的学到线性空间理论后，返回到矩阵论的知识进行复习，这样可以达到更好的学习效果。

矩阵论也是线性代数课纲内最主要的内容，主要包括矩阵的简单计算、矩阵的行（列、零）空间、利用矩阵解线性方程组、利用矩阵处理线性空间和线性映射的问题、以及基于行列化简的 LU 分解及其衍生物等等。在我看来，矩阵有着非常丰富的理解方式，因此，学好线性代数的一个关键就在于是否对矩阵论有着足够深刻的认识。比如就矩阵计算而言，加减都还好，但乘法则有着极其深刻的意义（矩阵各分量的运算，按行分块的和按列分块的运算，等等），直观的理解可以参考《线性代数的艺术》体会矩阵运算极其丰富的内涵。

矩阵运算的很多内容都是基于解线性方程组来展开的。我大一初学线代的时候第一章是解线性方程组（就是纯用矩阵行化简硬解，完全不懂原理），当时的我一头雾水，以为线性代数就这（笑），越往后学才越发现解线性方程组所蕴含的数学原理。线性方程组的解理论要结合线性空间理论、矩阵论的知识来理解，毕竟线性方程组求解其实就是求给定的线性子空间（即列向量张成的空间）是否能够线性表出某给定向量（或者零向量），求解的方法（行化简）也要结合本质来理解，既能知其所以然，在计算的时候也不会因为不明原理而用错方法，像写成列向量行化简这种就经常容易犯错误。行列式是非常有力的计算工具，因为其承载了矩阵的很多信息（其实就是向量张成的平行 n 面体的体积），但在推导行列式定义的时候尽可能用归纳的方法推导（即我需要行列式满足在初等变换下具有某种固定形式的性质，所以我需要行列式拥有某种特定的计算方法，比如换序变号，在第三类初等变换下值不变等等），而不是采用逆序数这种不明所以的定义。学习行列式时要