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中小学教育资源及组卷应用平台2024年高考数学专题汇编：空间向量与立体几何一、选择题1．已知在正四棱锥 中（底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥）， ， ，侧棱与底面所成角为 ，侧面与底面所成角为 ，侧面等腰三角形的底角为 ，相邻两侧面的二面角为 ，则下列说法正确的有（）A． B．C． D．2．已知长方体 中， ， ， ，空间中存在一动点 满足 ，记 ， ， ，则（）.A．存在点 ，使得 B．存在点 ，使得C．对任意的点 ，有 D．对任意的点 ，有3．在棱长为1的正方体 中， 分别在棱 上，且满足 ， ， ， 是平面 ，平面 与平面 的一个公共点，设 ，则 （）A． B． C． D．4．棱长均为3三棱锥，若空间一点满足则的最小值为()A． B． C． D．5．在正方体中，动点P在线段上，点E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（）A． B． C． D．6．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（）A． B． C． D．7．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且 ，E为线段AD上一点，若 与 的面积相等，则 的值为（）A． B． C． D．8．已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（）A． B． C． D．二、多项选择题9．如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（）A．B．C．D．为平面的一个法向量10．在正四棱柱中，分别是的中点，是棱上一点，则下列结论正确的有（）A．若为的中点，则B．若为的中点，则到的距离为C．若，则平面D．的周长的最小值为三、填空题11．在空间直角坐标系中，已知点，若四点共面，则 ．12．已知，，为空间两两垂直的单位向量，且，，则 .13．如图，在圆锥中，是底面圆O的直径，D，E分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的余弦值为 ．四、解答题14．已知是空间的一个基底，且，，，．（1）求证：，，，四点共面；（2） 能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由．15．在空间直角坐标系中，已知点，，，设，．（1）若与互相垂直，求的值；（2）求点到直线的距离．16．如图，正三棱柱的所有棱长均为为的中点，为上一点，（1）若，证明：平面；（2）当直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.17．如图，已知边长为6的菱形与相交于，将菱形沿对角线折起，使．（1）求平面与平面的夹角的余弦值；（2）在三棱锥中，设点是上的一个动点，试确定点的位置，使得．18．如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，，，，，与交于点．（1）若是中点，求证：；（2）求直线和平面所成角的正弦值．19．如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.（1）证明：直线平面；（2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.答案解析部分1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】A9．【答案】B,C10．【答案】B,C,D11．【答案】212．【答案】13．【答案】14．【答案】（1）解：由 ， ，而 ，则 ，所以 ， ， ， 四点共面；（2）解：若 共面，则设 ，即 ，所以 ，则 ，可得 ，即 ，即 共面，故 不能作为基底．15．【答案】（1）由题意知，，所以，．又与互相垂直，所以，解得．（2）由（1）知，，所以，所以点到直线的距离．16．【答案】（1）证明：记与交于点，连结.由得.又平面，平面，所以平面.（2）解：取中点，以原点，直线为轴，直线为轴，建立如图空间直角坐标系.则设，则设平面法向量为，则，取因为线面角正弦值为，所以解得，故17．【答案】（1）解：依题知，，因为，所以，又因为四边形为菱形，所以，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以．设平面的法向量为，则有，即，令，则，所以．因为，所以平面，平面的法向量与平行，所以平面的一个法向量为，，则平面与平面的夹角的余弦值为．（2）解：设，因为是线段上的一个动点，设，即，所以，则，由，得：，即，解得：或即或，故点为线段BD的两个三等分点18．【答案】（1）证明：因为四边形为正方形，所以，因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，所以，连接，则，在中，，所以，因为，，平面，且，从而平面，又平面，所以，因为，，平面，且，所以平面，又平面，所以，又因为，所以，又是中点，，所以，因为，，平面，且，所以平面，又因为平面，所以．（2）解：由（1）知，平面，且，以为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则、、、，则，，，由得，，所以，所以，，设面的法向量为，由得，，取，则，设直线和平面所成角为，则，所以直线和平面所成角的正弦值为．19．【答案】（1）解：过点作的垂线，交于点，则.连接，则，且由，所以，又因为，，所以，平面且平面所以平面平面，又因为，所以平面（2）解：设平面的法向量为则由，解得.所以，解得.21世纪教育网www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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