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中小学教育资源及组卷应用平台2024年高考数学专题汇编:空间向量与立体几何一、选择题1.已知在正四棱锥 中(底面为正方形,顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥), , ,侧棱与底面所成角为 ,侧面与底面所成角为 ,侧面等腰三角形的底角为 ,相邻两侧面的二面角为 ,则下列说法正确的有()A. B.C. D.2.已知长方体 中, , , ,空间中存在一动点 满足 ,记 , , ,则().A.存在点 ,使得 B.存在点 ,使得C.对任意的点 ,有 D.对任意的点 ,有3.在棱长为1的正方体 中, 分别在棱 上,且满足 , , , 是平面 ,平面 与平面 的一个公共点,设 ,则 ()A. B. C. D.4.棱长均为3三棱锥,若空间一点满足则的最小值为()A. B. C. D.5.在正方体中,动点P在线段上,点E是的中点,则直线与平面所成角的正弦值的最大值为()A. B. C. D.6.如图,在四棱锥中,平面ABCD,,,,已知Q是四边形ABCD内部一点(包括边界),且二面角的平面角大小为,则面积的取值范围是()A. B. C. D.7.如图,△ABC是边长为3的等边三角形,D在线段BC上,且 ,E为线段AD上一点,若 与 的面积相等,则 的值为()A. B. C. D.8.已知正方体的棱长为2,、分别为上底面和侧面的中心,则点到平面的距离为()A. B. C. D.二、多项选择题9.如图,已知正方体的棱长为,、分别为棱、的中点,则下列结论正确的为()A.B.C.D.为平面的一个法向量10.在正四棱柱中,分别是的中点,是棱上一点,则下列结论正确的有()A.若为的中点,则B.若为的中点,则到的距离为C.若,则平面D.的周长的最小值为三、填空题11.在空间直角坐标系中,已知点,若四点共面,则 .12.已知,,为空间两两垂直的单位向量,且,,则 .13.如图,在圆锥中,是底面圆O的直径,D,E分别为,的中点,,,则直线与直线所成角的余弦值为 .四、解答题14.已知是空间的一个基底,且,,,.(1)求证:,,,四点共面;(2) 能否作为空间的一个基底?若能,试用这一基底表示;若不能,请说明理由.15.在空间直角坐标系中,已知点,,,设,.(1)若与互相垂直,求的值;(2)求点到直线的距离.16.如图,正三棱柱的所有棱长均为为的中点,为上一点,(1)若,证明:平面;(2)当直线与平面所成角的正弦值为,求的长度.17.如图,已知边长为6的菱形与相交于,将菱形沿对角线折起,使.(1)求平面与平面的夹角的余弦值;(2)在三棱锥中,设点是上的一个动点,试确定点的位置,使得.18.如图,多面体中,四边形为正方形,平面平面,,,,,与交于点.(1)若是中点,求证:;(2)求直线和平面所成角的正弦值.19.如图,在多面体中,四边形为平行四边形,且平面,且.点分别为线段上的动点,满足.(1)证明:直线平面;(2)是否存在,使得直线与平面所成角的正弦值为?请说明理由.答案解析部分1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】A9.【答案】B,C10.【答案】B,C,D11.【答案】212.【答案】13.【答案】14.【答案】(1)解:由 , ,而 ,则 ,所以 , , , 四点共面;(2)解:若 共面,则设 ,即 ,所以 ,则 ,可得 ,即 ,即 共面,故 不能作为基底.15.【答案】(1)由题意知,,所以,.又与互相垂直,所以,解得.(2)由(1)知,,所以,所以点到直线的距离.16.【答案】(1)证明:记与交于点,连结.由得.又平面,平面,所以平面.(2)解:取中点,以原点,直线为轴,直线为轴,建立如图空间直角坐标系.则设,则设平面法向量为,则,取因为线面角正弦值为,所以解得,故17.【答案】(1)解:依题知,,因为,所以,又因为四边形为菱形,所以,建立空间直角坐标系,如图所示,则,所以.设平面的法向量为,则有,即,令,则,所以.因为,所以平面,平面的法向量与平行,所以平面的一个法向量为,,则平面与平面的夹角的余弦值为.(2)解:设,因为是线段上的一个动点,设,即,所以,则,由,得:,即,解得:或即或,故点为线段BD的两个三等分点18.【答案】(1)证明:因为四边形为正方形,所以,因为平面平面,平面平面,,所以平面,又因为平面,所以,连接,则,在中,,所以,因为,,平面,且,从而平面,又平面,所以,因为,,平面,且,所以平面,又平面,所以,又因为,所以,又是中点,,所以,因为,,平面,且,所以平面,又因为平面,所以.(2)解:由(1)知,平面,且,以为坐标原点,分别以、、所在的直线为、、轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则、、、,则,,,由得,,所以,所以,,设面的法向量为,由得,,取,则,设直线和平面所成角为,则,所以直线和平面所成角的正弦值为.19.【答案】(1)解:过点作的垂线,交于点,则.连接,则,且由,所以,又因为,,所以,平面且平面所以平面平面,又因为,所以平面(2)解:设平面的法向量为则由,解得.所以,解得.21世纪教育网www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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