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河北省部分地区2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（????）

A．B．C．D．

2．若复数满足，则（????）

A．B．C．D．

3．已知向量，，若，则（????）

A．B．C．D．

4．已知，则（????）

A．B．C．D．

5．已知函数，则不等式的解集为（????）

A．B．C．D．

6．当时，曲线与的交点个数为（????）

A．3B．4C．5D．6

二、多选题

7．已知函数的定义域为R，当时，，且当时，，则下列结论中一定正确的是（????）

A．B．C．D．

8．设函数，若存在，且，使得，则（????）

A．B．

C．可能有且仅有两个零点D．至多有四个零点

9．双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图曲线是双纽线，下列说法正确的是（????）

A．曲线C的图象关于原点对称

B．曲线C经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C．曲线C上任意一点到坐标原点的距离都不超过3

D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为

三、填空题

10．设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，若，，则．

11．若曲线在点处的切线与曲线相切，则．

12．某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为．

四、解答题

13．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，．

(1)求角的大小；

(2)求的面积．

14．已知椭圆的离心率为，且过点．

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

15．已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的大小；

16．已知函数在处取得极值2，且．

(1)求实数a，b，c的值；

(2)若函数在区间上有三个零点，求实数m的取值范围；

(3)证明：若函数在区间上不单调，则．

17．设数列满足，且对于任意的，都有，若从该数列中任意选取两个不同的数和（），能满足，则称和是幸运数对.

(1)求数列的通项公式；

(2)若从数列中随机选取两个数，求这两个数构成“幸运数对”的概率；

(3)证明：对于任意的正整数N，在数列中总存在两个数和（），使得.

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参考答案：

1．D

【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得.

【详解】依题意，，而，

所以.

故选：D

2．A

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可.

【详解】因为，所以.

故选：A

3．A

【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】因为，，

所以，

又，所以，解得.

故选：A

4．A

【分析】先根据两角和公式结合切化弦得出，再应用两角差余弦计算.

【详解】因为,

又因为,

所以,

所以.

故选：A.

5．B

【分析】根据函数解析式分两段讨论，分别求出不等式的解集.

【详解】因为，则不等式，

等价于或，

解得或或，

所以不等式的解集为.

故选：B

6．A

【分析】根据给定条件，转化为方程根的个数列式计算即得.

【详解】依题意，曲线与的交点个数即为方程根的个数，

由，得，，

则或或，

解得或或，因此方程在上有3个解.

所以当时，曲线与的交点个数为3.

故选：A

7．BC

【分析】先求出函数局部周期性，再求值即可.

【详解】当时，

由于得到，

则，A错；

，B对；

，C对；

，D错；

故选：BC.

8．CD

【分析】分析导数研究函数的单调性与极值，取特殊函数由零点存在性定理确定零点个数即可判断选择支.

【详解】，，由题意，函数至少有个零点.

，

设，令，则.

当，即时，

当，则，在单调递减；

当，则，在单调递增；

所以有最小值，最小值为，此时函数无零点，不满足题意；

当，即时，

由，，

当时，，

当，则，在单调递减；

当，则，在单调递增；

所以有最小值，最小值为，

又，，

由零点存在性定理可得，在各有一个零点，

故当时，函数有且仅有个零点，满足题意，故A