函数 $f(x)$ $=$ $|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ 的第一类间断点的个数是 ( $\quad$ )

(A) $3$

(C) $1$

(B) $2$

(D) $0$

难度评级：

首先，间断点一定是无定义的点。因此，根据分母不能等于零，可得：

$$\begin{cases}1 – x \neq 0 \\x – 2 \neq 0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x \neq 1 \\x \neq 2\end{cases}$$

此外，间断点还经常出现在分段函数的分段点，由于函数 $f(x)$ 可以分为 $x > 0$, $x < 0$ 和 $x = 0$ 三个取值区间，因此，分段点 $x = 0$ 也可能是函数 $f(x)$ 的间断点。

于是可知，函数 $f(x)$ 的可能的第一类间断点为：

$$1, \ 2, \ 0$$

接着：

$$\begin{aligned}\lim \limits_{x \rightarrow 1}|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}} \\& = \lim \limits_{x \rightarrow 1}(1 + x – 1)^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}} \\& = \lim \limits_{x \rightarrow 1}(1 + x – 1)^{\frac{1}{x-1} \cdot \frac{x-1}{1} \cdot \frac{1}{(1-x)(x-2)}} \\& = \lim \limits_{x \rightarrow 1}e^{\frac{x-1}{(1-x)(x-2)}} \\& = \lim \limits_{x \rightarrow 1}e^{\frac{-1}{x-2}} \\& = e^{\frac{-1}{-1}} \\& = e\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\lim \limits_{x \rightarrow 2^{-}}|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}} \\& = \lim \limits_{x \rightarrow 2^{-}}x^{\frac{1}{-1 \cdot 0^{-}}} \\& = 2^{\frac{1}{0^{+}}} \\& = 2^{+\infty} \\& = +\infty\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}} \\& = \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}x^{\frac{1}{-2}} \\& = 0^{\frac{-1}{2}} \\& = \frac{1}{0^{\frac{1}{2}}} \\& = \frac{1}{0^{+}} \\& = +\infty\end{aligned}$$

注意：$0^{0}$ $=$ $0$, $2^{0}$ $=$ $1$

综上可知，由于只有一点处左右两侧极限都存在的间断点才是第一类间断点，因此，函数 $f(x)$ 只有 $x = 1$ 这一个间断点，本题正确选项为：C.

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