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  u(x,y,z)  u(x,y,z)\,u(x,y,z)在点 P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 )  \,P_0(x_0,y_0,z_0)\,P0​(x0​,y0​,z0​)的某空间邻域 U⊂R 3 \,U\subset R^3\,U⊂R3内有定义，l  l\,l为从点 P 0 \,P_0\,P0​出发的射线，P(x,y,z)  P(x,y,z)\,P(x,y,z)为 l  \,l\,l上且在 u  \,u\,u内任意一点，则：

{x −x0 = Δ x = ρ ⋅ cos α y −y0 = Δ y = ρ ⋅ cos β z −z0 = Δ z = ρ ⋅ cos γ\begin{cases}x-x_0=\Delta x=\rho\cdot\text{cos}\alpha\\ y-y_0=\Delta y=\rho\cdot\text{cos}\beta\\ z-z_0=\Delta z=\rho\cdot\text{cos}\gamma\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​x−x0​=Δx=ρ⋅cosαy−y0​=Δy=ρ⋅cosβz−z0​=Δz=ρ⋅cosγ​

  其中 cosα\,\text{cos}\alphacosα、cosβ\text{cos}\betacosβ、cosγ  \text{cos}\gamma\,cosγ为射线 l  \,l\,l的方向余弦， ρ  \,\rho\,ρ表示 P  \,P\,P与 P 0 \,P_0\,P0​之间的距离： ρ = Δx2+Δy2+Δz2\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}ρ=Δx2+Δy2+Δz2 ​

  若以下极限存在：

lim⁡ρ→0+u(P)−u(P0) ρ= lim⁡ρ→0+u(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)−u(x0,y0,z0) ρ\lim\limits_{\rho\to 0^+}\frac{u(P)-u(P_0)}{\rho}= \lim\limits_{\rho\to0^+}\frac{u(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z)-u(x_0,y_0,z_0)}{\rho}ρ→0+lim​ρu(P)−u(P0​)​=ρ→0+lim​ρu(x0​+Δx,y0​+Δy,z0​+Δz)−u(x0​,y0​,z0​)​ = lim⁡ρ→0+u(x0+ρcosα,y0+ρcosβ,z0+ρcosγ)−u(x0,y0,z0) ρ=\lim\limits_{\rho\to0^+}\frac{u(x_0+\rho\text{cos}\alpha, y_0+\rho\text{cos}\beta, z_0+\rho\text{cos}\gamma)-u(x_0,y_0,z_0)}{\rho}=ρ→0+lim​ρu(x0​+ρcosα,y0​+ρcosβ,z0​+ρcosγ)−u(x0​,y0​,z0​)​

  则称此极限为 u  \,u\,u在点 P 0 \,P_0\,P0​沿方向 L  \,L\,L的方向导数，记为： ∂u∂l ⃗ ∣P0\color{Purple}\frac{\partial u}{\partial \vec{l}}\bigg|_{P_0}∂l ∂u​∣∣∣∣​P0​​

  注意：     (1) 二元函数同理.     (2) 方向导数的意义：通过偏导数可以研究函数在坐标轴方向上的变化率. 而方向导数则可以研究函数在其他特定方向上的变化率.     (3) 方向导数本质上是一个右极限，注意 ρ→0 + \,\rho\to0^+ρ→0+.

  条件：函数 u  \,u\,u可微才能使用！ ∂u∂l⃗ ∣P0=u x ′(P 0) cos α +u y ′(P 0) cos β +u z ′(P 0) cos γ = {u x ′(P 0) ,u y ′(P 0) ,u z ′(P 0) } ⋅ { cos α , cos β , cos γ } \frac{\partial u}{\partial \vec{l}}\bigg|_{P_0}=u'_x(P_0)\text{cos}\alpha+u'_y(P_0)\text{cos}\beta+u'_z(P_0)\text{cos}\gamma=\{u'_x(P_0),u'_y(P_0),u'_z(P_0)\}\cdot\{\text{cos}\alpha,\text{cos}\beta,\text{cos}\gamma\}∂l ∂u​∣∣∣∣​P0​​=ux′​(P0​)cosα+uy′​(P0​)cosβ+uz′​(P0​)cosγ={ux′​(P0​),uy′​(P0​),uz′​(P0​)}⋅{cosα,cosβ,cosγ}

    即 ∂u∂l ⃗ ∣P0 =grad→ u∣P0 ⋅l0⃗\color{Purple}\frac{\partial u}{\partial \vec{l}}\bigg|_{P_0}=\overrightarrow{\text{grad}}\,u\bigg|_{P_0}\cdot \vec{l^0}∂l ∂u​∣∣∣∣​P0​​=grad ​u∣∣∣∣​P0​​⋅l0

  注意：grad → u∣P 0  \overrightarrow{\text{grad}}\,u\bigg|_{P_0}\,grad​u∣∣∣∣​P0​​即为 u  \,u\,u在 P 0 \,P_0\,P0​点的梯度， l 0⃗ \vec{l^0}\,l0 为射线 l  \,l\,l的单位方向向量. 关于梯度相关内容见后文.

  若函数不可微，就不能使用计算公式求解，只能使用定义求解.

  例如下面这个函数就不可微： f ( x , y ) ={x+y+ x 3yx 4+ y ,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)f(x,y)=\begin{cases}x+y+\frac{x^3y}{x^4+y},&(x,y)\neq(0,0)\\ 0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}f(x,y)={x+y+x4+yx3y​,0,​(x,y)​=(0,0)(x,y)=(0,0)​

  要求这样函数的方向导数，应该按照下面的步骤：

    (1) 证明其不可微：

      计算确定  lim ⁡x→0y→0 Δ f − A Δ x − B Δ yρ ≠0\,\lim\limits_{x\to 0\atop y\to 0}\frac{\Delta f-A\Delta x-B\Delta y}{\rho}\neq0y→0x→0​lim​ρΔf−AΔx−BΔy​​=0

    (2) 利用定义计算方向导数：

      令 ρ= Δx2 + Δy2 + Δz2\,\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}ρ=Δx2+Δy2+Δz2​， ∂u∂l ⃗ ∣P0 =lim⁡ρ→0 + u(x 0 +Δx,y 0 +Δy,z 0 +Δz)−u(x 0 ,y 0 ,z 0 )ρ\color{Purple}\frac{\partial u}{\partial \vec{l}}\bigg|_{P_0}=\lim_{\rho\to0^+}\frac{u(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z)-u(x_0,y_0,z_0)}{\rho}∂l ∂u​∣∣∣∣​P0​​=ρ→0+lim​ρu(x0​+Δx,y0​+Δy,z0​+Δz)−u(x0​,y0​,z0​)​

  (1) 确定函数是否可微. 若不可微，使用定义求解.

  (2) 求方向余弦：根据题目所给方向，求出方向余弦.

  (3) 求梯度.

  (4) 使用计算公式计算.

  若 u  \,u\,u在点 P 0 \,P_0\,P0​处有一阶连续偏导数，则 grad→ u ={ ∂u∂x ,∂u∂y ,∂u∂z} {\color{Purple}\overrightarrow{\text{grad}}\,u=}\bigg\{ {\color{Purple}\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}}\bigg\}grad ​u={∂x∂u​,∂y∂u​,∂z∂u​}

grad→ u∣P0 = {ux′ (P0 ) ,uy′ (P0 ) ,uz′ (P0 ) }\color{Purple}\overrightarrow{\text{grad}}\,u\bigg|_{P_0}=\{u'_x(P_0),u'_y(P_0),u'_z(P_0)\}grad ​u∣∣∣∣​P0​​={ux′​(P0​),uy′​(P0​),uz′​(P0​)}

  函数在某点的梯度本质上是一个向量，也可以写为  ∂u∂x i ⃗+ ∂u∂y j ⃗+ ∂u∂z k ⃗\,\frac{\partial u}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial u}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial u}{\partial z}\vec{k}∂x∂u​i +∂y∂u​j ​+∂z∂u​k

∂u∂l ⃗ ∣P0 =grad→ u∣P0 ⋅l0⃗ = ∣grad→ u∣P0 ∣ ⋅ cos θ\color{Purple}\frac{\partial u}{\partial \vec{l}}\bigg|_{P_0}=\overrightarrow{\text{grad}}\,u\big|_{P_0}\cdot\vec{l^0}=\bigg|\overrightarrow{\text{grad}}\,u\big|_{P_0}\bigg|\cdot\text{cos}\theta∂l ∂u​∣∣∣∣​P0​​=grad ​u∣∣​P0​​⋅l0 =∣∣∣∣​grad ​u∣∣​P0​​∣∣∣∣​⋅cosθ

  其中 θ  \,\theta\,θ为 grad → u∣P 0  \,\overrightarrow{\text{grad}}\,u\big|_{P_0}\,grad​u∣∣​P0​​与  l 0⃗ \,\vec{l^0}\,l0 的夹角.

  当 cosθ=1  \,\text{cos}\theta=1\,cosθ=1时 (梯度的方向与射线的方向相同)，此时方向导数 ∂ u ∂l⃗∣P 0  \frac{\partial u}{\partial \vec{l}}\big|_{P_0}\,∂l ∂u​∣∣​P0​​取最大值.

  梯度的模就是方向导数的最大值.

  例 (真题)：设有一小山，取它的底面所在的平面为  x O y  \,xOy\,xOy坐标面，其底部所占的区域为  D = { ( x ， y ) ∣x 2+y 2− x y ⩽ 75 } \,D=\{(x，y)|x^2+y^2-xy\leqslant75\}D={(x，y)∣x2+y2−xy⩽75}，小山的高度函数为  h ( x , y ) = 75 −x 2−y 2+ x y \,h(x,y)=75-x^2-y^2+xyh(x,y)=75−x2−y2+xy. 设  M (x 0,y 0)  \,M(x_0,y_0)\,M(x0​,y0​)为区域  D  \,D\,D上一点，问  h ( x , y )  \,h(x,y)\,h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若此方向的方向导数最大值为  g (x 0,y 0) \,g(x_0,y_0)g(x0​,y0​)，试写出  g (x 0,y 0)  \,g(x_0,y_0)\,g(x0​,y0​)的表达式．

  解：grad→ u∣M = {y0 − 2x0 ,x0 − 2y0 }\overrightarrow{\text{grad}}u\big|_M=\{y_0-2x_0, x_0-2y_0\} grad ​u∣∣​M​={y0​−2x0​,x0​−2y0​}

g (x0 ,y0 ) = ∣grad→ u∣M ∣ =(y 0 −2x 0 ) 2 +(x 0 −2y 0 ) 2 g(x_0,y_0)=\bigg|\overrightarrow{\text{grad}}u\big|_M\bigg|=\sqrt{(y_0-2x_0)^2+(x_0-2y_0)^2} g(x0​,y0​)=∣∣∣∣​grad ​u∣∣​M​∣∣∣∣​=(y0​−2x0​)2+(x0​−2y0​)2 ​

  场是空间区域 Ω  \,\Omega\,Ω的一种对应法则. 根据场的特点可以分为以下两种：

    (1) 数量场 (标量场)：Ω  \Omega\,Ω中的任一点 M(x,y,z)  \,M(x,y,z)\,M(x,y,z)都对应一个确定的数量 u\,uu. 于是在 Ω  \,\Omega\,Ω上就能确定了一个数量函数 u=u(x,y,z)\,u=u(x,y,z)u=u(x,y,z)，用于表示这个数量场.

  常见数量场：温度场、密度场、浓度场等.

    (2) 向量场：Ω  \Omega\,Ω中的任一点 M(x,y,z)  \,M(x,y,z)\,M(x,y,z)都对应一个确定的向量 F ⃗ \,\vec{F}F . 于是在 Ω  \,\Omega\,Ω上就能确定了一个向量函数 F ⃗ =P(x,y,z)i ⃗ +Q(x,y,z)j ⃗ +R(x,y,z)k ⃗ \,\vec{F}=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}F =P(x,y,z)i +Q(x,y,z)j ​+R(x,y,z)k ，用于表示这个向量场.

  常见向量场：风场、引力场、电磁场、水流场等.

   注意：在积分学中，不定积分与定积分、重积分、第一类曲线曲面积分的研究对象都是数量场，而第二类曲线曲面积分的研究对象则是向量场.

  对于向量场 A ⃗ (x,y,z)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}  \,\vec{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}\,A (x,y,z)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}，其散度为：divA⃗ =∂P∂x +∂Q∂y +∂R∂z\color{Purple}\text{div}\vec{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}divA =∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​

  散度是一个标量.

  用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，描述了通量源的密度.   当 divA ⃗ >0\,\text{div}\vec{A}>0divA >0 ，表示该点有散发通量的正源 (发散源)；   当 divA ⃗ <0\,\text{div}\vec{A}