(Ⅰ)由,可得
,
进而可得.令
,解得
,或
.
当x变化时,的变化情况如下表:
所以,的单调递增区间是
,
,单调递减区间是
.
(Ⅱ)证明:由,得
,
.
令函数H1(x)=g(x)(x﹣x0)﹣f(x),则H′1(x)=g′(x)(x﹣x0).
由(Ⅰ)知,当x∈[1,2]时,g′(x)>0,
故当x∈[1,x0)时,H′1(x)<0,H1(x)单调递减;
当x∈(x0,2]时,H′1(x)>0,H1(x)单调递增.
因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H1(x)>H1(x0)=﹣f(x0)=0,可得H1(m)>0即h(m)>0,
令函数H2(x)=g(x0)(x﹣x0)﹣f(x),则H′2(x)=g′(x0)﹣g(x).由(Ⅰ)知,g(x)在[1,2]上单调递增,故当x∈[1,x0)时,H′2(x)>0,H2(x)单调递增;当x∈(x0,2]时,H′2(x)<0,H2(x)单调递减.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H2(x)>H2(x0)=0,可得得H2(m)<0即h(x0)<0,.
所以,h(m)h(x0)<0.
(Ⅲ)证明:对于任意的正整数 ,
,且
,
令,函数
.
由(II)知,当时,
在区间
内有零点;
当时,
在区间
内有零点.
所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x1,则h(x1)=g(x1)(﹣x0)﹣f(
)=0.
由(Ⅰ)知g(x)在[1,2]上单调递增,故0<g(1)<g(x1)<g(2),
于是|﹣x0|=
≥
=
.
因为当x∈[1,2]时,g(x)>0,故f(x)在[1,2]上单调递增,
所以f(x)在区间[1,2]上除x0外没有其他的零点,而≠x0,故f(
)≠0.
又因为p,q,a均为整数,所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数,
从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.
所以.所以,只要取
,就有
.