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2022—2023 学年度第一学期期中检测高三数学参考答案2022．111.B 2.C 3.B 4.A5. A 6.C 7.D 8.B9.BD10. AC11. ABD 12.ACD5 1 613. 14. 15. 616. 4 ,9 e ln 2 217．解：（1）因为“ x 0，1 ， x2x m0成立”是真命题．2所以 x x 0x 1 ,mx2x ，所以mxx ……..….2max易得 f xx2x, x 0，1 的最大值为 f 12 ，所以m2所以实数m 的取值集合 A(2, )……..….5ax 11 （2）因为 a0，所以不等式0的解集 B , 2, ……..….7x2a1 因为 x A是 x B的充分不必要条件，所以 A B ，即 (2, ), 2, a 1 1所以2 ，解得 a………10a 218．解：（１）因为 f (x) 是R 上的奇函数，所以 x R， f ( x) f (x) ，1即 x R， (2x)(m 1)0，所以m1 ……..….42x说明：用 f (0)0处理不检验的扣 2分1显然 f (x) 2x(2) 在R 上单调递减 ……..….62x因为 f (x) 是奇函数，所以由 f (t2k)f (2kt)0得 f (t 2k) f (2kt)f (kt2)2 t22因为 f (x) 单调递减，所以 tkkt2，即 k， t [0,2]……..….8t 1因为存在实数 t [0,2]，使得 f (t 2k)f (2kt)0成立， t22 所以 k ……..….9 t 1 mint 22 3而t 122 32，当且仅当 t3 1取“＝”t 1 t 1t 22所以 的最小值为2 32，所以 k2 32 …..….12t 12 2 219．解（1）在△BCD中，由余弦定理可得CDBCBD2BC BD cos CBD ，所以 4BD2 11BD 200，解得BD4.……..…3高三数学参考答案 第 1 页（共 6 页）11 3 15因为 cos CBD，0CBDπ，所以 sin CBD 16 16CD BD 15在△BCD中，由正弦定理可得，解得 sinC…………………6sin CBD sinC 4说明：其它解法相应给分（2）在△BCD中，由余弦定理得 BD2 CB2 CD22CB CD cosC 13 12cosC在△ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABAD cos A3AB2 ，所以 AB213 12cosC ， …………………831 1 3所以 SS△ABDS△BCDABAD sin A CB CD sinCAB23sinC2 2 43 13 12cosC 13 3 3sinC3sinC3 cosC 4 3 12 π13 3 2 3 sin C …………………11 612π π 2π 37 3因为0 Cπ，所以当C ，即C时，四边形 ABCD面积取得最大值 ………126 2 3 1220．（1）由条件知四边形 ABCD为直角梯形，作DHBC 于H .ABAD2四边形 ABHD 为正方形，即DHBH2BC2 2CHBH2CDBD2CD2BD2BC2CDBD …………1CDPB,BD PBB,BD,PB 平面PBD CD 平面PBD …………3CD 平面ABCD 平面 PBD 平面 ABCD…………4（2）设点 P 到平面 ABCD的距离为 d1 1四棱锥 P-ABCD 的体积VSABCD d3ddd 1 …………53 3取 BD中点为O PBPDPOBD平面PBD 平面ABCD,平面ABCD 平面PBDBD,PO 平面PBD ， PO 平面ABCD …….……7解法 1：由（1）可知H 为 BC 中点，连接OH ，则OH CD ， OHBD以O为原点， OH ,OB,OP 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，高三数学参考答案 第 2 页（共 6 页）z则 P(0,0,1),D(0, 1,0), A( 1,0,0) ， DP(0,1,1),DA( 1,1,0)，P设 E(a,1 a,0)，则 PE(a,1 a, 1)D AO DPnyz0EC设平面 HPAD 的法向量 n(x, y, z) ，则，By DAnxy0x取 x 1, 则 n(1,1, 1) ……………9设直线 PE 与平面 PAD 所成角为 ，| PEn | 6则 sin| cosPE,n | .………….10| PE || n | 3 a2a 11 3 3 1 2 2∵ a [0,2] ，∴ a2a 1 (a)2 ， ∴当 a时， sin 的最大值为2 4 4 2 32 2∴直线 PE 与平面 PAD 所成角的正弦值的最大值为 ………….123说明：以 D 为原点建系也可以，此时法向量不变，仍然是 n(1,1, 1)解法 2：过点O分别作OMBC,ONAB，分别交于M ,N .四边形 ABCD为直角梯形， ABC90 ， 四边形OMBN 为矩形以O为原点， OM ,ON ,OP 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，2 2 2 2 2 2则 P(0,0,1), D( , ,0), A( , ,0) AP( , ,1), AD(0, 2,0) ,2 2 2 2 2 2z2 2设 E( , t,0)，则 PE( , t, 1) ，2 2 PA ADn 2y0 D O N y设平面 PAD 的法向量 n(x, y, z) ，则2 2 B APnxyz0C E M 2 2x取 x2,则 n( 2,0, 1)， ………………9设直线 PE 与平面 PAD 所成角为 ，| PEn | 2则 sin| cosPE,n | ………………10| PE || n | 2 33 t 23 2 2 2 2∵ t [ , ]，∴当 t0 时， sin 的最大值为2 2 32 2∴直线 PE 与平面 PAD 所成角的正弦值的最大值为 ………………12321．解析：（1） X 的可能取值为 1,0,1， 21 12 12 1 1 211P X1 1， P X0 1 1 ， P X 1 1 ， 32 63 23 2 2 323高三数学参考答案 第 3 页（共 6 页）所以 X 的分布列为：X1 0 11 1 1p6 2 31 1 1 1所以 E X 101……………………….46 2 3 61（2）①由（1）知 P1………………….……56②经过两轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有两种情况：一种是甲两轮都得 1分；另一种是甲一轮得 0 分，一轮得 1分.2 11 1 1 7所以 P2C2…….… ……………7 66 2 36③经过三轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有四种情况：一种是甲 3 轮都得 1分；一种是甲 2 轮得 1分，一轮得 0 分；一种是甲 2 轮得 1分，一轮得 1 分；一种是甲 1 轮得 1分，2 轮得 0 分；.3 2 2 2 121 1 1 1所以2PCCC 2 11 43． …………………….10 3 3 3 3 6 626326 216 1 m st 6st2 7

7st 6所以2，相除得 ，消去 s 得6t21 m st 7t 1 0 ，解得 t或 t 1（舍），36 st343 643 2 m

st3st 42 2161 1所以m,s 1,t……….………….125 622．（1）当a0时 f (x)(x2)ex,x R f (x)(x3)ex ,∴ f (x)的单调减区间为 ( , 3)，增区间为 (3, ) ………………..….2x2 1（2）（i）解法一：∵ f x1恒成立，∴ a 恒成立，e2x e3x3

x 2x3 x2 1设 h(x) ，则 h (x)e ,e2x e3x e2x3设x2x3 ，则x 在 R 上递减，ex又00 ∴当 x,0 时，x0, 当 x 0,时，x0,∴ h(x) 在,0 上递增，在 0,上递减，∴ h(x)maxh(0) 1，∴ a 1 ∴amin 1 ……………………..….8高三数学参考答案 第 4 页（共 6 页）x2 1 x2 ex 1解法二： f x1恒成立，∴ a恒成立，e2x e3x e3x x2 ex 1 32x3 ex设 h(x)，则 h (x),e3x e3x设x32x 3 ex ，则x 2x 5 ex5 5 55 ∴x 在 ( , ) 上递增，在 ( , )上递减，∴ (x) 2 ， max( )3 2e02 2 25 x 5当 x ( , )时，32x 3 e0 ，∴x 在 ( , ) 上无零点，2 2又00 ∴当 x,0 时，x0, 当 x 0,时，x0,∴ h(x) 在,0 上递增，在 0,上递减，∴ h(x)maxh(0) 1，∴ a 1 ∴amin 1……………………..….8解法三： f (x) 1恒成立，∴ f (0)2 a 1,即a 1，x 2x下面证明当a 1时 f (x)e (x e2) 1恒成立，提供两个方案：x 2x方案 1： f (x)e (x e2 1 2e2x )ex (x 3e2x 3),1 1设 g(x)x 3e2x 3,则 g (x) 1 6e2x ∴ g(x) 在 ( , ln 6)上递增，在 ( ln 6, )上递减；2 21 1 5∴ g(x)maxg( ln 6) ln 6 0,2 2 2又 g( 3)3e 60, g(0)0， g(1)4 3e20,1 1 1∴由零点存在性定理得 g(x)在( , ln 6)和( ln 6, ) 上各有一个零点 x1, 0，且 x1 ln 602 2 2∴ f (x)在( , x )上递减，在(xf (x)f (0) 11 1,0) 上递增，在(0, )上递减， 极大值 ，又当 x2时 f (x)ex (xe2x2)0 且 f (x)在( 2, x )上递减 ∴1 当x ( , x1)时,f (x)0∴ f (x)maxf (0) 1 1， ∴amin 1……………………..….81方案 2：要证 f (x)ex (xe2x2) 1恒成立，等价于证 xe2x2 0恒成立，ex1 1 (1 ex )(2e2x2ex 1)令 h(x)xe2x2，则 h (x) 1 2e2x ,ex ex ex∴ h(x) 在 ( ,0)上递增；在 (0, )上递减∴ h(x)maxh(0)0, h(x)0恒成立，∴amin 1 ……………………..….8x（ii） f (x)e (x 3 3ae2x ) ，设 g(x)x 3 3ae2x 2x，则 g (x) 1 6ae ，1 1 1 1 5∴ g(x) 在 ( , ln 6a)上递增，在 ( ln 6a, )上递减 ∴ g(x)maxg( ln 6a) ln 6a，2 2 2 2 2高三数学参考答案 第 5 页（共 6 页）e5若 a，则 g(x) max0 ∴ f (x)0∴ f (x)在 R 上递减∴ f (x)无最大值，不合题意；…….96e5 1 5若 0a，则 g(x)max0，且 ln 6a6 2 21 1g( 3)0, g( ln 6a)0 ， g(x) 在 ( , ln 6a)上递增且连续，2 21∴ g(x) 在区间 ( 3, ln 6a)上存在唯一零点，设为 x1 ，2exx 1 x 2 2x x 2 2x x 2 x（过程略）∴ x 3 e ∴ g(x)x 3 3aee 3aee (e 3ae )，e2 1不妨取 x0ln 1 ,则 x0 ln 6a，3a 21 1∵ g(x0)0， g( ln 6a)0 ， g(x) 在 ( ln 6a, )上递减且连续，2 21∴ g(x) 在区间 ( ln 6a, x ) 上存在唯一零点，设为 x2 , 025 1其中 ， 2xxi 3 3 x1 ln 6axi ，即2x0 g(xi )xi 3 3ae0(i 1,2) a 2 2 2x3e i∴ f (x)在 ( , x1)上递减，在 (x1, x2)上递增，在 (x2 , )上递减，当 x ( , 3]时， x2 ae2x0,ex0 f (x)0 ；当 x ( 3, x1) 时， f (x)f ( 3)0，x3 2x3f (x)f (x2 )(x22ae2x2 )ex2(x22 )ex22 2 ex2 ,极大3 3x 3 5 2x 5∵函数 y在 ( , )上递减，（其中 y 0 ），2x 3e2x3e 233 e∴当 x ，即当0a时， f (x2 )0，∴ f (x)存在最大值 f (x2 )，符合题意， 22 25 3 e3 e5当 x ，即当a时， f (x2 )0， 22 2 2 6下证：存在实数 x , x1 ，使 f (x2 )f (x)0设 h x2x2ex , x ( , 3) ，则h (x)2 2 x xex0∴ hx2x2ex 在 ( , 3)上递增，∴ h x2x2exh 318e 3 1，1∴当 x ( , 2 a)， 2 a3 时， f (x)(x2ae2x )ex(x2a)ex2xex.x 11 1∴取 kmaxf (x2 ), ，则 ( ,2a) ， f ( )kf (x )，∴ f (x) 不存在最大值. 2 2a k k 1 综上得: a 0, e3 . …………………….12 2 高三数学参考答案 第 6 页（共 6 页）20.(本小题满分12分)如图，在体积为1的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=90°，AD11BC,AD=AB=√2，BC=2N2,CD⊥PB,PB=PD(1)证明：平面PBD⊥平面ABCD:(2)若点E为棱BC上一动点，求直线PE与平面PAD所成角的正弦值的最大值，BPInc121.(本小题满分12分)甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、乙两人各投一球，两人都投中或者都未投中则均记0分：一人投中而另一人未投中，则投中的记1分，未投中的记-1分.设每轮比赛中甲投中的概率为了，乙投中的概率为2，甲、乙两人投篮相互独立，且每轮比赛互不影响，(1)经过1轮比赛，记甲的得分为X,求X的分布列和期望；(2)经过3轮比赛，用P(n=1,2,3)表示第n轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概率，研究发现点(n,P)(n=1,2,3)均在函数f(x)=m(s-t)的图象上，求实数m,s,t的值.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-ae2“+2)e,其中e为自然对数的底数.(1)当a=0时，求函数f(x)的单调区间：(2)当a>0时(i)若f(x)s1恒成立，求实数a的最小值：(ii)若f(x)存在最大值，求实数a的取值范围.高三期中检测数学试题第4页（共4页）2022一2023学年度第一学期中检测试题高三数学2022.11(全卷满分150分，考试时间120分钟)一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求)1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={1,2,3,4},则(CM)∩N=()A.{5B.{3,4}C.{3,4,5}D.{1,2,3,4,5}2.1-tanl5的值为（）1+tan15"A.1B.3c.3D.②323、古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的内切球体积与圆柱体积比为定值，则该定值为()A.22-3B.3C.34D.2展开式中x的系数为()A.-280B.-40C.40D.2805.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形.如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为S,小正方形的面积为S,若鸟=5，则sina+cosa的值为()S,A.35B.2W5C.D.557-58-56.已知函数f(,的导函数∫"(x)满足∫"(x)=f(),则不等式f>2e3cosx在区间(0，上的解集为()ππA.63.(7.甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子出现的点数可能为1,2,3,4,5,6），并分别记录自己每次出现的点数，四人根据统计结果对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定出现6点的描述是()A.中位数为4，众数为4B.中位数为3，极差为4C.平均数为3，方差为2D.平均数为4,25百分位数为2高三期中检测数学试题第1页（共4页）

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