第一题，求下列极限。

分析：利用极限的迫敛性和余弦函数的有界性。

解题：首先我们给出一个常见的小结论：。在华师大第四版的数学分析中，第25页例题5给出了证明，读者有兴趣可以去看一下。

因为       

左边：

右边：

这样根据迫敛性我们就算出了原极限。

分析：选用等价无穷小代换。

因为分母是四阶无穷小量，分子也只用展开到4阶，代入后计算可得极限等于

       解析：分割区间后，对有限区间用连续函数的性质，对无穷区间用极限的定义。

因为极限存在，不妨记作，由定义对.我们取，便有

在区间上，根据连续函数必有界，我们不妨设.

这样我们就证明了有界性。

        这里指出一种错误做法：首先利用极限的定义证明无穷区间内函数是一致连续，然后根据闭区间内连续函数必定是一致连续证明函数在有限区间内也是一致连续的，这样错误的原因在于分割的区间依赖于我们给出的，不能得出一致收敛性。

        下面是正确解法，来自于裴礼文第二版152页例2.2.7。

设，根据极限的收敛准则，。

根据康托尔定理，函数在区间上一致连续，对，，我们有。

令（这样取的目的是为了使得落入相同的区间内避免讨论）。从而一致连续。

分析：用收敛准则就可以解决。

从，得。只要取，则时，根据上面的分析有

分析：第一题送分，第二题需要借助第一题的结论进行构造不等式。

由上题结论

两边取上的定积分：

分析：二元函数的局部保号性，类似于一元函数，但要注意语言的运用。往年这类二元函数的证明都不常见，今后报考安徽大学的同学可以多注意一下。

在华师大第四版第十六章课后习题中有类似的题目，在复习时可以多留意。

我们取根据极限的定义，

从而