(Ⅰ)(i)当时,,故.可得,,所以曲线在点处的切线方程为,即.
(ii)依题意,.从而可得,整理可得.令,解得.
当变化时,的变化情况如下表:
所以,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;的极小值为,无极大值.
(Ⅱ)证明:由,得.
对任意的,且,令,则
. ①
令.当时,,由此可得在单调递增,所以当时,,即.
因为,,
所以,
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知,当时,,即,
故. ③
由①②③可得.所以,当时,对任意的,且,有.
(Ⅰ)(i)当时,,故.可得,,所以曲线在点处的切线方程为,即.
(ii)依题意,.从而可得,整理可得.令,解得.
当变化时,的变化情况如下表:
所以,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;的极小值为,无极大值.
(Ⅱ)证明:由,得.
对任意的,且,令,则
. ①
令.当时,,由此可得在单调递增,所以当时,,即.
因为,,
所以,
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知,当时,,即,
故. ③
由①②③可得.所以,当时,对任意的,且,有.