出处：https://yq.aliyun.com/articles/231424?do=login#

摘要： 随着近几年关于复杂网络（Complex network）理论及其应用研究的不断深入，已有大量关于复杂网络的文章发表在Science，Nature，RL，NAS等国际一流的刊物上，侧面反映了复杂网络已经成为物理界的一个新兴的研究热点。

随着近几年关于复杂网络（Complex network）理论及其应用研究的不断深入，已有大量关于复杂网络的文章发表在Science，Nature，RL，NAS等国际一流的刊物上，侧面反映了复杂网络已经成为物理界的一个新兴的研究热点。人们开始尝试应用这种新的理论工具来研究现实世界中的各种大型复杂系统，其中复杂系统的结构以及系统结构与系统功能之间的关系是人们关注的热点问题。[1]

在自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述。一个典型的网络是由许多节点与节点之间的连边组成，其中节点用来代表真实系统中不同的个体，而边则用来表示个体间的关系，往往是两个节点之间具有某种特定的关系则连一条边，反之则不连边，有边相连的两个节点在网络中被看作是相邻的。例如，神经系统可以看作大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的网络[2]；计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信介质如光缆、双绞线、同轴电缆等相互连接形成的网络[2]。类似的还有电力网络[3]、社会关系网络[2,4-5]、交通网络[6]、调度网络[7]等等。

复杂网络的研究由于其学科交叉性和复杂性的特点，涉及了众多学科的知识和理论基础，尤其是系统科学、统计物理、数学、计算机与信息科学等，常用的分析方法和工具包括图论、组合数学、矩阵理论、概率论、随机过程、优化理论和遗传算法等。复杂网络的主要研究方法都是基于图论的理论和方法开展的，并已经取得了可喜的成果。但近几年，统计物理的许多概念和方法也已成功地用于复杂网络的建模和计算，如统计力学、自组织理论、临界和相变理论、渗流理论等[8]，如网络结构熵的概念，并用它来定量地度量复杂网络的“序”。复杂网络模型在很多科学领域都得到广泛的应用。

参考文献：

[1] 孙玺菁, 司守奎. 复杂网络算法与应用[M]. 国防工业出版社, 2015.

[2] Watts D J, Strogatz S H. Collective dynamics of 'small-world' networks.[J]. Nature, 1998, 393(6684):440.

[3] Faloutsos M, Faloutsos P, Faloutsos C. On power-law relationships of the Internet topology[J]. Acm Sigcomm Computer Communication Review, 1997, 29(4):251-262.

[4] Hofman J M, Sharma A, Watts D J. Prediction and explanation in social systems.[J]. Science, 2017, 355.

[5] Ebel H, Mielsch L I, Bornholdt S. Scale-free topology of e-mail networks[J]. Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys, 2002, 66(3 Pt 2A):035103.

[6] 吴文祥, 黄海军. 固定需求交通网络的一般系统最优模型与性质[J]. 管理科学学报, 2015, 18(12):58-67.

[7] 宣琦,吴铁军. 复杂open shop问题的网络模型及调度规则设计[J]. 浙江大学学报(工学版),2011,(06):961-968.

[8] Albert R, Barabási A. Statistical mechanics of complex networks[J]. Review of Modern Physics, 2002, 74(1):47-97.

1. 复杂网络的研究历史

1736，欧拉：哥尼斯堡七桥问题；1950，Erdos, Renyi: 随机图论；1998，Strogatz, Barabasi:小世界和无标度网络。

两篇开创性的文章可以看作是复杂网络研究新纪元开始的标志：

一篇是美国康奈尔（Cornell）大学理论和应用力学系的博士生Watts及其导师、非线性动力学专家Strogatz教授于1998年6月在Nature杂志上发表的题为《“小世界”网络的集体动力学》（Collective Dynamics of ‘Small-World’ Networks）的文章；

另一篇是美国Notre Dame大学物理系的Barabāsi教授及其博士生Albert于1999年10月在Science杂志上发表的题为《随机网络中标度的涌现》（Emergence of Scaling in Random Networks）的文章。这两篇文章分别揭示了复杂网络的小世界特征和无标度性质，并建立了相应的模型以阐述这些特性的产生机理。至此，人们逐渐展开了对复杂网络的研究。

关于网络的研究，数学家早在两百多年前就开始了，他们已经发展出了成体系的理论与技术，而物理学家的进入只有十几年左右的历史！到底是什么鼓动物理学家来趟这塘浑水，他们的到来有意义吗？

在我们看来，研究对象特殊的尺度效应是召唤物理学家到来的根本原因。

数学家经典的网络理论，要么是分析包含几十数百个顶点，可以画在一张纸上从而形成直观印象的网络；要么是讨论不含有限尺度效应，可以精确求解的网络性质。“随机移走一个顶点会对网络的性能产生什么样的影响？”这个问题对于研究有限规则网络的数学家是有意义的，对于拥有几千万个节点，接方式复杂多样的真实网络而言，或许“随机移走 3％的顶点会对网络性能产生什么样的影响？”这个问题更有意义。这个尺度的网络，是被物理学家称作“足够大”的网络，对它们的研究，需要使用统计物理的方法。

数学家和物理学家在考虑网络的时候，往往只关心节点之间有没有边相连，至于节点到底在什么位置，是长还是短，弯曲还是平直，有没有相交等等都是他们不在意的。在这里，他们把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的性质叫做网络的拓扑性质，相应的结构叫做网络的拓扑结构。

那么，什么样的拓扑结构比较适合用来描述真实的系统呢？两百多年来，这个问题的研究经历了三个阶段。在最初的一百多年里，数学家们认为真实系统各因素之间的关系可以用一些规则的结构表示，如二维平面上的欧几里德格网，看起来像是格子体恤衫上的花纹；又或者最近邻环网，总是会让你想到一群手牵着手围着篝火跳圆圈舞的姑娘。

到了二十世纪五十年代末，数学家们想出了一种新的构造网络的方法，在这种方法下，两个节点之间连边与否不再是确定的事情，而是根据一个概率决定。数学家把这样生成的网络叫做随机网络，在接下来的四十年里一直被很多科学家认为是描述真实系统最适宜的网络。直到最近几年，由于计算机数据处理和运算能力的飞速发展，科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两者皆不同的统计特征的网络。这样的一些网络被科学家们叫做复杂网络（Complex Networks），对于它们的研究标志着第三阶段的到来。

国内学者对国外复杂网络理论研究的介绍最早始于汪小帆(2002)发表在国外杂志上的一篇文章[3]，文中回顾了近年来国外复杂网络研究所取得的重要成果，其中包括平均路径长度、聚集系数、度分布等网络度量，Internet、www和科学合作网络等现实系统，规则网络、随机网络、小世界网络、无标度网络等网络模型，以及复杂网络上的同步等。

而在国内刊物上对国外复杂网络理论研究的介绍可追溯到朱涵(2003) [4]在《物理》杂志上发表的“网络‘建筑学”’，文章以小世界、集团化和无标度等概念为中心，介绍了复杂网络的研究进展。

之后，吴金闪等[5]从统计物理学的角度总结了复杂网络的主要研究结果，对无向网络、有向网络和加权网络等三种不同网络统计性质研究的现状分别作了综述，对规则网络、完全随机网络、小世界网络和无标度网络等网络机制模型进行了总结，并对网络演化的统计规律、网络上的动力学性质的研究进行了概括。

周涛等(2005)围绕小世界效应和无标度特性等复杂网络的统计特征及复杂网络上的物理过程等问题，概述了复杂网络的研究进展。

刘涛等[6]从平均路径长度、聚集系数、度分布等复杂网络的统计性质，小世界网络和无标度网络等网络模型等层面简述了复杂网络领域的相关研究。

史定华[7]从对网络节点度和度分布的理解入手，对网络分类、网络的演化机理和模型及结构涌现等方面取得的进展进行了总结。

遗憾的是，目前而言，科学家们还没有给出复杂网络精确严格的定义，从这十几年的研究来看，之所以称其为复杂网络，致少包含以下几层意思：首先，它是大量真实复杂系统的拓扑抽象；其次，它至少在感觉上比规则网络和随机网络复杂，因为我们可以很容易地生成规则和随机网络，但就目前而言，还没有一种简单方法能够生成完全符合真实统计特征的网络；最后，由于复杂网络是大量复杂系统得以存在的拓扑基础，此对它的研究被认为有助于理解“复杂系统之所以复杂”这一至关重要的问题。

参考文献：

[1] Watts D J, Strogatz S H. Collective dynamics of 'small-world' networks.[J]. Nature, 1998, 393(6684):440.

[2] Barabási A, Albert R. Emergence of Scaling in Random Networks[J]. Science, 1999, 286(5439):509-512.

[3] XIAO FAN WANG. COMPLEX NETWORKS: TOPOLOGY, DYNAMICS AND SYNCHRONIZATION[J]. International Journal of Bifurcation & Chaos, 2002, 12(5):885-916.

[4] 朱涵, 王欣然, 朱建阳. 网络“建筑学”[J]. 物理, 2003, 32(6):364-369.

[5] 吴金闪, 狄增如. 从统计物理学看复杂网络研究[J]. 物理学进展, 2004, 24(1):18-46.

[6] 刘涛, 陈忠, 陈晓荣. 复杂网络理论及其应用研究概述[J]. 系统工程, 2005, 23(6):1-7.

[7] 史定华. 网络——探索复杂性的新途径[J]. 系统工程学报, 2005, 20(2):115-119.

2. 复杂网络的统计特征

2.1平均路径长度L

在网络中，两点之间的距离为连接两点的最短路径上所包含的边的数目。网络的平均路径长度指网络中所有节点对的平均距离，它表明网络中节点间的分离程度，反映了网络的全局特性。不同的网络结构可赋予L不同的含义。如在疾病传播模型中L可定义为疾病传播时间，通网络模型中L可定义为站点之间的距离等。

2.2聚集系数C

在网络中，节点的聚集系数是指与该节点相邻的所有节点之间连边的数目占这些相邻节点之间最大可能连边数目的比例。而网络的聚集系数则是指网络中所有节点聚集系数的平均值，它表明网络中节点的聚集情况即网络的聚集性，也就是说同一个节点的两个相邻节点仍然是相邻节点的概率有多大，它反映了网络的局部特性。

2.3度及度分布

在网络中，点的度是指与该节点相邻的节点的数目，即连接该节点的边的数目。而网络的度指网络中所有节点度的平均值。度分布P(k)指网络中一个任意选择的节点，它的度恰好为k的概率。

2.4介数

包括节点介数和边介数。节点介数指网络中所有最短路径中经过该节点的数量比例，边介数则指网络中所有最短路径中经过该边的数量比例。介数反映了相应的节点或边在整个网络中的作用和影响力。

2.5小世界效应

复杂网络的小世界效应是指尽管网络的规模很大(网络节点数目N很大)，但是两个节点之间的距离比我们想象的要小得多。也就是网络的平均路径长度L随网络的规模呈对数增长，即L～In N。大量的实证研究表明，真实网络几乎都具有小世界效应。

2.6无标度特性

对于随机网络和规则网络，度分布区间非常狭窄，大多数节点都集中在节点度均值的附近，说明节点具有同质性，因此可以被看作是节点度的一个特征标度。而在节点度服从幂律分布的网络中，大多数节点的度都很小，而少数节点的度很大，说明节点具有异质性，这时特征标度消失。这种节点度的幂律分布为网络的无标度特性。

3. 各种网络模型

3.1 规则网络

最简单的网络模型为规则网络，它是指系统中各元素之间的关系可以用一些规则的结构表示，也就是说网络中任意两个节点之间的联系遵循既定的规则，通常每个节点的近邻数目都相同。常见的具有规则拓扑结构的网络包括全局耦合网络（也称为完全图）、最近邻耦合网络和星型耦合网络。

3.2 随机网络

从某种意义上讲，规则网络和随机网络是两个极端，而复杂网络处于两者之间。节点不是按照确定的规则连线，如按纯粹的随机方式连线，所得的网络称为随机网络。如果节点按照某种自组织原则方式连线，将演化成各种不同网络。

3.3 小世界网络

规则的最近邻耦合网络具有高聚类特性，但并不是小世界网络。另一方面，ER随机网络虽然具有小的平均路径长度但却没有高聚类特性。因此，这两类网络模型都不能再现真实网络的一些重要特征，毕竟大部分实际网络既不是完全规则的，也不是完全随机的。作为从完全规则网络向完全随机网络的过渡，Watts和Strogtz于1998年引入了一个小世界网络模型，称为WS小世界模型。

3.4 无标度网络

很多网络（包括Internet和新陈代谢网络等）都不同程度拥有如下共同特性：大部分节点只有少数几个