历届华罗庚金杯赛解析（1）
1986年第一届全国华罗庚金杯赛初赛试题（初中组）（1）
1．1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少？
分析：
本题考点有两个。一是等差数列求和，二是简便运算。
解题：
1966 +1976 +1986 +1996 + 2006 = 1986 * 5 = 2000 * 5 – 14 * 5 = 10000 – 70= 9930。
点评：
本题虽然考点较多，但可以说毫无难度，就是一道送分题。
2．每边长都是10厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽度是1厘米的方框。把五个这样的方框放在桌面上，成为这样的图案（图1）。问桌面上被这些方框盖住的部分面积是多少平方厘米？
分析：
本题考点是基本图形求面积问题
解题：
五个方框，每一个方框所盖住的面积为10 * 10 – (10 - 2) * (10 - 2) = 100– 64 = 36平方厘米。
中间的方框和左上角的方框有两处重合，每一处重合都是一个小正方形，由题目可知，小正方形的长和宽都是1厘米，如下图所示。
所以，中间的方框和其他每一个方框重合的面积是1*1 + 1*1 = 2平方厘米，和其他四个方框重合的总面积是2 * 4 =8平方厘米。
所以五个方框盖住的总面积是36 * 5 – 8 = 172平方厘米。
点评：
本题难度不在于题目本身，而在于考生能否在赛场上保持清醒和冷静，认真解读题目，读懂本题要求的是灰色区域的面积（而非灰色区域围起来的，包含白色区域的面积）。只要考生读懂了题目的要求，即便用最“笨”的办法，对灰色的各边一条边一条边地求，也是能够顺利求得结果的。本题难度为★。
3．105的约数有多少个？
分析：
本题考点有两个。一是分解质因子，二是排列组合。
解题：
第一步，分解质因子。105 = 3 * 5 * 7。
第二步，排列组合。105的约数是从3、5、7三个数字中取的0到3个数字的乘积。因为3、5、7各不相同，所以是全组合，可选的情况是2的三次方，即8。所以105的约数共有8个。
点评：
本题难点在于找出解题方法。一个数的约数，除了1和本身之外，一定都是这个数的若干个质因子的乘积。105是一个较小的数字，因而考生即便没有掌握通过全组合方式快速求解的方法，也可以通过将105所有的约数一一列出，然后数出结果。本题难度为★。
4．妈妈让小明给客人烧水沏茶，洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要1分钟，拿茶叶要用2分钟。小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟，为了使客人早点喝上茶，按你认为的最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？
分析：
本题考点是最优化问题。
解题：
由题目可知，洗开水壶一定要在烧开水之前进行；烧开水的同时可以进行洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶的工作。
所以最短在1 +15 = 16分钟之后就可以沏茶了。
点评：
本题是后来奥数教材中最优化问题的经典例题。在举办第一届华杯赛的时候，很可能考生还没有受到过最优化问题的训练。在当时本题可以说有一定难度，考生要根据生活经验，灵活地得出有些工作可以并行。由此也可以看出，奥数考得不只是知识，更是对生活常识活灵活现地运用。本题难度为★。
5．右边的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字。被盖住的数字总和是多少？
分析：
本题考点是数字解迷问题。
解题：
为叙述方便故，第一个加数的十位和个位数字分别用a和b来表示，第二个加数的十位和个位数字分别用c和d来表示。
第一个加数和第二个加数的个位相加，有可能进位，有可能不进位。
当个位相加需要进位的时候，a + c = 13，b + d =19，但b和d最大取值都是9，即b和d的和最大是18。所以，两个加数的个位数相加不可能产生进位。
当个位相加不需要进位的时候，a + c = 14，b + d = 9。所以a、b、c、d四个数字之和是23。
点评：本题难点在于通过两个加数的和的个位数是9，来判定两个加数的个位数字相加不可能进位。类似的数字解谜问题都会有这样的一个“抓手”，考生只要抓住这个“抓手”其他未知数字就都能影刃而解了。本题难度为★☆。
6．松鼠妈妈采松子。晴天每天可以采20个。有雨的天每天只能采12个。她一连几天共采了112个松子，平均每天采14个。问这几天当中有几天有雨？
分析：
本题考点是鸡兔同笼问题。
解题：
解法一：由共采了112个松子和平均每天采14个可知，一共采了112 / 14 = 8天。
设雨天有x天，则有：
12x + 20* (8 - x) = 112，解得x = 6天。
解法二：由平均每天采14个，晴天每天采20个，雨天每天采12个可知，晴天每天比平均数多采6个，雨天每天比平均数少采2个。6 / 2 =3，所以雨天数是晴天数的3倍，即雨天数是总天数的3 / (3 + 1) = 3 / 4。
再由共采了112个松子和平均每天采14个可知，一共采了112 / 14 = 8天。
所以雨天数共有8 * 3 / 4 = 6天。
点评：鸡兔同笼问题是小学高年级的一道经典例题，本题比经典的鸡兔同笼问题更深一步，需要根据已知条件求得总共采松子的天数，因此难度也要比经典的鸡兔同笼问题更深一层。不过对于课内学习扎实的考生而言，看到题目之后必然会立刻条件反射似的想到要用鸡兔同笼问题来求解，因而自然而然地会想到要先求出总共采松子的天数。是故，对于课内学习扎实的考生，应该能很快求得答案。本题难度为★☆。
7．边长1米的正方体2100个，堆成了一个实心的长方体，它的高是10米，长、宽都大于高。问长方体的长与宽的和是几米？
分析：
本题考点是分解质因子。
解题：
为叙述方便，实心长方体的长、宽、高分别用a、b、h来表示。
由2100个正方体堆成一个实心长方体可知，长方体的体积为2100，即a * b * h =2100。换言之，a、b、h都是2100的约数。
2100 = 2* 2 * 3 * 5 * 5 * 7，又已知h = 10，所以a * b = 2 * 3 * 5 * 7。
因为a> h，b >h，所以a和b都至少有2、3、5、7当中的两个质因子，即a和b都一定都是两个质因子的乘积。因为2只有和7相乘才能大于10，所以a和b只能分别是2* 7 = 14和3 * 5 = 15。
所以a + b =14 + 15 = 29。
点评：本题难点在于找出求解方法。由已知正方形的数量、边长，以及堆成的实心长方体的高，要能想到此时实心长方体的长和宽的乘积也是已知的。两个数的乘积确定的情况下，要求两个数的和，自然而然应该想到要用分解质因子的方法。在分解质因子之后，就会发现这两个数的和只有有限的几种可能了。
最后，再由实心长方体的长和宽都大于高，就可以将长和宽分别划定在一个基本确定的范围里了。本题在分解质因子之后，由长和宽都大于高这个已知条件，就已经能确定长和宽的长度了。本题难度为★★。
8．早晨8点多钟，有两辆汽车先后离开化肥厂，向幸福村开去，两辆汽车的速度都是每小时60千米。8点32分的时候，第一辆汽车离化肥厂的距离是第二辆汽车的三倍。到了8点39分的时候，第一辆汽车离化肥厂的距离是第二辆汽车的两倍。那么，第一辆汽车8点几分离开工厂的？
分析：
本题考点是追及问题。
解题：
设8点32分的时候，第二辆汽车距离化肥厂x千米。则有：8点32分的时候，第一辆汽车距离化肥厂3x千米；8点39分的时候，第二辆汽车前进了7千米，距离化肥厂7+ x千米；第一辆汽车也前进了7千米，距离化肥厂7 + 3x千米。
所以2 * (7+ x) = 7 + 3x，解得x = 7。
所以8点32分的时候，第一辆汽车距离化肥厂21千米，即第一辆汽车出发了21分钟。
所以第一辆汽车是8点11分出发的。
点评：
本题难点是将经典的追及问题的某时相遇，改成了某时二者行进距离的比例关系。经典追及问题的某时相遇实际就是某时二者行进距离的比例关系是1：1，是一个特定的比例而已。因而本题在本质上与经典的追及问题没有什么区别。
考生在读题时，需要读懂题目所传达的信息实际是在8点32分到8点39分之间，两辆汽车的追及关系，然后求出二者在8点32分时相距的距离。至此，后面再求出发地时间就自然而然地迎刃而解了。本题难度为★★。
9．有一个整数，除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是几？
分析：
本题考点本质是运用辗转相除法求公约数。
解题：
由300、262、205除以一个整数得到相同的余数可知，300、262、205分别减去这个相同的余数，就都能被一个整数整除。为叙述方便，用x表示这个余数，用y表示这个做除数的整数。
那么，300 – x，262 – x，205 – x就都能被y整除。
因为如果两个数都能被一个数整除，那么这两个数的差或和一定也能被这个数整除。所以(300 – x) – (262 – x)和(262 –x) – (205 – x)也都能被y整除，即38和57也都能被y整除。
38和57的公约数有1和19两个。
所以y = 1或y= 19。
点评：
或许是第一届竞赛的缘故，本题出得并不十分严谨，在题目中没有说明除数不能为1或余数不能为0，这就使得“狡猾”的考生可以不经计算，直接回答答案是1。虽然答得不全，但毕竟也是正确答案之一。
在解题方面，如果考生能熟记“如果两个数都能被一个数整除，那么这两个数的差或和一定也能被这个数整除”这个结论，这道题几乎就是白送分的题目了。不过大多数考生可能不熟悉这个结论，这也没有关系，通过题目应该不难想到300– x，262 – x，205 –x这三个数同余，那么下一步就是要求这三个数的公约数了。求公约数就要先求最大公约数，而求最大公约数在小学课本里讲了两种方法，本题的核心考点就是学生通常较少使用的辗转相除法。用此法迅速就能判断出本题实际就是求38和57（或95）的公约数。本题所选取的三个数字应该是经过考虑的，因而我们所求得的公约数除了1以外，就只有最大公约数本身了。故而，题目本意应该是只有一个答案的，只是本题在题目叙述中不够严谨，因而1也成了符合题目要求的除数。本题难度为★☆
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