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海淀区八年级练习数学考生须知：1. 本试卷共8页，共三道大题，26道小题．满分100分．考试时间90分钟．2. 在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3. 答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4. 考试结束，请将本试卷交回．一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．榫卯拼接木艺是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为，将用科学记数法表示应为（）A． B． C． D．3．下列运算正确的是（）A． B． C． D．4．如图，点E，C，F，B在一条直线上，，添加下列条件判定的是（）A． B．C． D．5．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的边数为（）A． B． C． D．6．如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（）.A． B． C． D．7．下列各式从左到右变形正确的是（）A． B． C． D．8．如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若代数式有意义，则实数的取值范围是．10．分解因式：11．在平面直角坐标系中，已知点关于轴的对称点的坐标为 ．12．计算： ．13．已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是．14．如图，在中，是边的垂直平分线． 若，，则的周长为．15．把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则 °．16．请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”．a．分子和分母均为正整数；b．分子小于分母；c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数”．（1）判断：（填“是”或“不是”）“乐数”；（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数” ．三、解答题（本题共60分，第17题5分，第18题10分，第19-23题每题5分，第24题6分，第25、26题每题7分）17．计算：．18．（1）已知，求代数式的值．（2）计算：．19．小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条，的中点连在一起（即，），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点 与点 之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论．20．如图，在中，．在线段上求作一点D，使得．小明发现作的平分线交于点D，点D即为所求．(1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：∵，∴_________．∵平分，∴．∴．∴_________．在中，，∴（____________________________________________）（填推理依据）．∴．21．如图所示的网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角形称为格点三角形．如图1，为格点三角形．(1)__________；(2)在图2和图3中分别画出一个以点，为顶点，与全等，且位置互不相同的格点三角形．22．列方程解应用题无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？23．如图，四边形中，，于点F，交于点E，连接，平分．

(1)求证：；(2)若，求的长．24．小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：现有杂质含量为1的水．(1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______；(2)小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：方案 编号 第一次过滤 用净水材料的单位量 第一次过滤后 水中杂质含量 第二次过滤 用净水材料的单位量 第二次过滤后 水中杂质含量A 6aB 5a aC 4a 2a①请将表格中方案C的数据填写完整；②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？(3)当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）．25．如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，．(1)依题意补全图形；(2)若，求（用含的式子表示）；(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．26．在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第三、第一象限，与轴所夹锐角为．对于点和轴上的两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点．(1)如图1，若点，，点为，的点，连接，．①；②求点的纵坐标；(2)已知点，．①当时，点为，的点，且点的横坐标为，则；②当时，点为，的点，且点的横坐标为，则___________________．参考答案与解析1．C【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A中不是轴对称图形，故不符合要求；B中不是轴对称图形，故不符合要求；C中是轴对称图形，故符合要求；D中不是轴对称图形，故不符合要求；故选：C．2．B【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，将写成的形式即可，其中，n为整数，n的值与小数点移动位数相同．【详解】解：，故选：B．3．A【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．运用同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点逐项判断即可解答．【详解】解：A. ，故A选项计算正确，符合题意；B. ，故B选计算错误，不符合题意；C. ，故C选计算错误，不符合题意；D. ，故D选计算错误，不符合题意．故选：A．4．A【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定条件进行判断作答即可．【详解】解：∵，∴，当时，，此时无法证明，故A符合要求；当时，，故B不符合要求；当时，则，，故C不符合要求；当时，，故D不符合要求；故选：A．5．B【分析】此题考查了多边形的内角和外角的关系，正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的度数即可，熟记正多边形的边数和外角的关系是解题的关键．【详解】解：∵正多边形的一个外角是，∴多边形的边数为：，故选：．6．D【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．直接根据“三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可解答．【详解】解：如图：∵，∴,即，∴只有D选项符合题意．故选D．7．C【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案．【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意；B、，原式变形错误，不符合题意；C、，原式变形正确，符合题意；D、，原式变形错误，不符合题意；故选C．8．A【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据对称得到垂直平分线进而得到等腰三角形计算即可．【详解】连接、、，如图，∵点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，∴垂直平分，垂直平分，垂直平分，∴，，，，，，∴，故①正确，∵，∴，，∵，∴，即，故②正确；∵，，∴，，∴，同理，，∴，故③错误；故选：A．9．【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键直接运用分式有意义的条件列不等式求解即可．【详解】解：∵数式有意义，∴，即．故答案为．10．．【详解】提取公因式法和应用公式法因式分解．【分析】．11．【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特点，根据关于轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解，掌握关于轴对称的点的坐标特点是解题的关键．【详解】解：∵点关于轴的对称点为点，∴点的坐标为，故答案为：．12．##【分析】本题考查了整式的混合运算， 熟练掌握运算法则是解本题的关键；原式运用多项式除以单项式法则计算即可．【详解】，故答案为：13．或【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为，分度数为的角为顶角和底角两种情况进行求解即可．【详解】解：当度数为的角是顶角时，则顶角的度数为；当度数为的角为底角时，则顶角的度数为；综上所述，顶角的度数为或，故答案为：或．14．【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键，根据垂直平分线的性质，可知，进而可求出的周长．【详解】解：∵DE是BC边的垂直平分线，∴，∴的周长，故答案为：．15．【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，熟记性质是解题的关键．根据翻折的性质求出，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可．【详解】解：如图，由题意，得，，，，，，故答案为：16． 不是 （答案不唯一）【分析】本题考查了了分式的定义，因式分解的应用．（1）根据“乐数”的定义可以判断不是“乐数”；（2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为，由题意得，推出，由，为正整数，得到或5或10，据此求解即可．【详解】解：（1）去掉相同的数字3之后，得到的分数为，而，，故不是“乐数”；（2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为，由题意得，整理得，即，∵，为正整数，∴或5或10，∴或4或9（舍去），∴分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”可以是或．故答案为：不是，．17．12【分析】根据零指数幂、负指数幂和绝对值的意义对原式进行化简，再进行计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂和绝对值的意义，相关公式有：，，熟练掌握运算法则是解题的关键．18．（1）13（2）【分析】本题考查了整式的化简求值和分式的混合运算，掌握运算法则和通分、约分是解题的关键．（1）先去括号，在合并同类项，然后把代入化简后的式子计算即可；（2）先通分括号里面的，再把除法转化为乘法计算即可．【详解】（1）解：原式==；∵，∴．∴． ∴原式=．（2）原式== =．19．C；D；证明见解析【分析】本题主要考查了三角形全等的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合．【详解】解：C，D；理由如下：连接，如图所示：在和中，，∴，∴，∴点与点的距离为该花瓶内底的宽．20．(1)见解析(2)；；在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可；（2）根据直角三角形两锐角互余得到，由角平分线定义得．则．由等角对等边得到．则根据直角三角形的性质得到，即可得到结论．此题考查了角平分线的作图、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，根据性质进行正确推理是解题的关键．【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．（2）证明：∵，∴．∵平分，∴．∴．∴．在中，，∴（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．）．∴．故答案为：；；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．21．(1)90(2)见解析【分析】本题考查了勾股定理与网格，全等三角形的判定，（1）由勾股定理分别求出，，，再利用勾股定逆定理，得出是直角三角形，即可得到的度数；（2）根据三条边分别对应相等的两个三角形全等画图即可．【详解】（1）解：由勾股定理，，，，，是直角三角形，，故答案为：；（2）解：如图，和即为所求作．22．件【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键．设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可．【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，依题意可得：，解得：．经检验，是原分式方程的解且符合题意．答：1名快递员平均每天可配送包裹件．23．(1)见解析(2)4【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，运用证得是解题的关键．（1）直接运用角平分线的性质定理即可证明结论；（2）先证明可得，即，最后根据线段的和差即可解答．【详解】（1）证明：∵，∴．∵于点F，平分，∴．（2）解：∵于点F，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．∵，∴．24．(1)(2)①，②方案C(3)【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算，（1）根据水中的杂质含量为计算即可；（2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答；（3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，即第一次净水后，杂质含量为：，第二次净水后，杂质含量为：，即有，问题随之得解．【详解】（1），故答案为：；（2）① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：，第二次过滤后水中杂质含量为：，故答案为：，；② 解：=．∵，∴，．∴．∴．同理，可得．∴．∴方案C的最终过滤效果最好．（3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，∴第一次净水后，杂质含量为：，∴第二次净水后，杂质含量为：，∵，∵，∴，当，即时，有最大值为，∴此时分数有最小值，即第一次使用单位的净水材料，第二次使用个单位时，两次过滤后水中的杂质含量最少，故答案为：．25．(1)见解析(2)(3)，证明见解析【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键．（1）根据题中要求补全图形即可；（2）根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据图形进行角度的运算即可；（3）在延长线上取点F，使，连接，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得，进而得到，证明得到，进而可得结论．【详解】（1）解：依题意，补全图形如图所示：（2）解：∵于D，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．（3）解：．证明：如图，在延长线上取点F，使，连接．∵，，∴，则，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵， ，，∴．26．(1)①30；②(2)①；②或【分析】（1）①设点为第一象限内上一点，得出与轴的夹角为,即，则即可得出；②过点作轴于，过点作轴于，证明．根据是等边三角形，点，，点，，得出，即可求解；（2）①延长交于点，连接交轴于，过点作轴于，根据定义得出是等边三角形，证明轴，得出，分别求得，解方程，即可得出；②当时，点在点的右侧，如图所示，过点作轴于，过点作轴于，设关于的对称点为，则，根据含度角的直角三角形的性质得出；当时，点在点的左侧，根据，解方程，即可求解．【详解】（1）①解：如图所示， 设点为第一象限内上一点，∵为等边三角形，，，则,∵点为，的点，∴与轴的夹角为,即∴，∴，故答案为：30；②解：过点作轴于，过点作轴于，．点为线段的点，，，．．在和中，．．是等边三角形，点，，点，，．，．．点纵坐标为．（2）解：①如图所示，延长交于点，连接交轴于，过点作轴于，∵点为，的点，∴，则是等边三角形，过点作轴于点，则，∴∵关于对称，∴，则，∴轴，∵点的横坐标为∴，∵，则，∵，， 则，∴解得：故答案为：．②当时，点，当时，点在点的右侧，如图所示，过点作轴于，过点作轴于，设关于的对称点为，则，∵,，，则()∴，∴∵∴当时，点在点的左侧，同理可得，，则，∴，解得：，综上所述，或．故答案为：或．【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．答案第1页，共2页答案第1页，共2页

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