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27.3位似第2课时用坐标描述位似变换一、选择题1.【中考·辽阳】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为()A．(0，0) B．(0，1) C．(－3，2) D．(3，－2)第1题图 第2题图 第3题图2.【2021·重庆】如图,在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B(0，1)，D(0，3)，则△OAB与△OCD的相似比是()A．2∶1 B．1∶2 C．3∶1 D．1∶33.【中考·烟台】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形BEFG的边长为6，则C点的坐标为()A．(3，2) B．(3，1) C．(2，2) D．(4，2)4.【2021重庆八中模拟】如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,两个正方形的面积之比为1∶2,点A的坐标为(1,0),则点E的坐标为()A.(,0) B.(,) C.(,) D.(2,2)第4题图 第5题图 第6题图5.【中考·嘉兴】如图，在直角坐标系中,△OAB的顶点为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的相似比为的位似图形△OCD，则点C坐标为()A．(－1，－1)B．(－，－1)C．(－1，－)D．(－2，－1)6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，则点B′的坐标是( )A．(2，)B．(－2，－)C．(2，)或(－2，)D．(2，)或(－2，－)7.【2020·重庆A卷】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC位似，且相似比为2∶1，则线段DF的长度为()A．B．2C．4 D．2第7题图第10题图8.【2020河南郑州桐柏一中月考】在平面直角坐标系中,点P(m,n)是线段AB上一点,以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍,则点P的对应点的坐标为()A.(2m,2n) B.(2m,2n)或(-2m,-2n)C.(m,n) D.(m,n)或(-m,-n)归纳总结以原点O为位似中心的位似变换(1)当位似图形在原点同侧时,其对应顶点坐标的比为k,此时k>0;当位似图形在原点两侧时,其对应顶点坐标的比为k,此时k(2)当|k|>1时,图形扩大为原来的|k|倍;当|k|9.在平面直角坐标系中,△ABC与△A1B1C1的相似比是2∶1,且是关于原点O的位似图形.若点B的坐标为(－4,－2),则其对应点B1的坐标为( )A.(－2,－1)B.(2,1)C.(－2,－1)或(2,1)D.(－8,－4)10.如图,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标为(－1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,且△A'B'C与△ABC的相似比为2∶1.设点B的对应点B'的横坐标是a,则点B的横坐标是( )A.－a B.－(a+1)C.－(a－1)D.－(a+3)11.在平面直角坐标系中,已知两点A(7,5),B(4,3),先将线段AB向右平移1个单位,再向上平移1个单位,然后以原点O为位似中心,将其缩小为原来的,得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为()A.(4,3) B.(4,3)或(-4,-3) C.(-4,-3) D.(3,2)或(-3,-2)12.已知点A的坐标为(0,3),点B的坐标为(－4,3),以原点O为位似中心,把线段AB缩短为原来的,其中点C与点A对应,点D与点B对应,则点D的坐标为( )A. B.C. D.二、填空题13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A'B'C'顶点的横、纵坐标都是整数.若△ABC与△A'B'C'是位似图形,则位似中心的坐标为. 第13题图第14题图 第15题图14.如图,△ABO的顶点A的坐标为(－3,6),以原点O为位似中心,把△ABO扩大为原来的3倍,则与点A对应的点A'的坐标为. 15.如图,在平面直角坐标系中,点A,D的坐标分别为(－15,0),(－12,9).以点B为位似中心,作平行四边形ABCD的位似图形得到平行四边形EBFG,且相似比为3∶2,点C的对应点为F,则点F的坐标为. 16.如图,四边形ABCD是正方形,原点O是四边形ABCD和A'B'C'D'的位似中心,点B,C的坐标分别为(－8,2),(－4,0),B'是点B的对应点,且点B'的横坐标为－1,则四边形A'B'C'D'的周长为.第16题图第17题图 第18题图17.如图,直线y＝x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1∶2,则点B的对应点B'的坐标为. 18.如图,在平面直角坐标系中,矩形AOCB的两边OA,OC分别在x轴、y轴上,且OA＝2,OC＝1.在第二象限内,将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍,得到矩形A1OC1B1,再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍,得到矩形A2OC2B2,……以此类推,得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为. 三、解答题19.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系,格点△ABC(顶点是网格线的交点)的顶点坐标分别是A(－2,2),B(－3,1),C(－1,0).(1)将△ABC先向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度,得到△DEF,画出△DEF;(2)以点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,在网格内画出放大后的△A1B1C1.若P(x,y)为△ABC中的任意一点,其对应点P1的坐标为. 20.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形,若点A的坐标为(－2,0),点D的坐标为(3,0),且BC＝3,求线段EF的长度.21.【安徽合肥包河区期末】如图,在网格中(小正方形的边长为1),△ABC的三个顶点都在格点上.(1)把△ABC沿着x轴向右平移6个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;(2)请以点O为位似中心在第一象限内画出△ABC的位似图形△A2B2C2,使得△ABC与△A2B2C2的相似比为1∶2;(3)请写出△A2B2C2三个顶点的坐标.22.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,－2).(1)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1,使它与△OAB的相似比为2∶1,并分别写出点A,B的对应点A1,B1的坐标.(2)画出将△OAB向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的△O2A2B2,并分别写出点A,B的对应点A2,B2的坐标.(3)判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗 若是,请在图中标出位似中心点M,并写出点M的坐标.23.【2021·黑龙江】在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其与△ABC的位似比为2∶1，且△A1B1C与△ABC位于点C的异侧，并写出点A1的坐标；(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；(3)在(2)的条件下，求出点B所经过的路径长．24.【中考·盐城】如果两个一次函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．如图，已知函数y＝－2x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，一次函数y＝kx＋b与y＝－2x＋4是“平行一次函数”．(1)若函数y＝kx＋b的图象过点(3，1)，求b的值；(2)若函数y＝kx＋b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，相似比为1:2，求函数y＝kx＋b的表达式．中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）21世纪教育网(www.21cnjy.com)参考答案一、选择题1.【中考·辽阳】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为(C)A．(0，0) B．(0，1) C．(－3，2) D．(3，－2)第1题图 第2题图 第3题图2.【2021·重庆】如图,在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B(0，1)，D(0，3)，则△OAB与△OCD的相似比是(D)A．2∶1 B．1∶2 C．3∶1 D．1∶33.【中考·烟台】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形BEFG的边长为6，则C点的坐标为(A)A．(3，2) B．(3，1) C．(2，2) D．(4，2)4.【2021重庆八中模拟】如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,两个正方形的面积之比为1∶2,点A的坐标为(1,0),则点E的坐标为(C)A.(,0) B.(,) C.(,) D.(2,2)第4题图 第5题图 第6题图【解析】要求点E的坐标,需求正方形ODEF的边长,根据正方形OABC与正方形ODEF的面积比,可得边长比,再结合点A的坐标即可得点E的坐标.5.【中考·嘉兴】如图，在直角坐标系中,△OAB的顶点为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的相似比为的位似图形△OCD，则点C坐标为( B )A．(－1，－1)B．(－，－1)C．(－1，－)D．(－2，－1)6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，则点B′的坐标是( D)A．(2，)B．(－2，－)C．(2，)或(－2，)D．(2，)或(－2，－)7.【2020·重庆A卷】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC位似，且相似比为2∶1，则线段DF的长度为(D)A．B．2C．4 D．2第7题图第10题图8.【2020河南郑州桐柏一中月考】在平面直角坐标系中,点P(m,n)是线段AB上一点,以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍,则点P的对应点的坐标为(B)A.(2m,2n) B.(2m,2n)或(-2m,-2n)C.(m,n) D.(m,n)或(-m,-n)【解析】根据位似的特征,可知将点P的横、纵坐标分别乘以2或-2,即可得到点P的对应点的横、纵坐标.归纳总结以原点O为位似中心的位似变换(1)当位似图形在原点同侧时,其对应顶点坐标的比为k,此时k>0;当位似图形在原点两侧时,其对应顶点坐标的比为k,此时k(2)当|k|>1时,图形扩大为原来的|k|倍;当|k|9.在平面直角坐标系中,△ABC与△A1B1C1的相似比是2∶1,且是关于原点O的位似图形.若点B的坐标为(－4,－2),则其对应点B1的坐标为(C)A.(－2,－1)B.(2,1)C.(－2,－1)或(2,1)D.(－8,－4)10.如图,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标为(－1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,且△A'B'C与△ABC的相似比为2∶1.设点B的对应点B'的横坐标是a,则点B的横坐标是(D)A.－a B.－(a+1)C.－(a－1)D.－(a+3)11.在平面直角坐标系中,已知两点A(7,5),B(4,3),先将线段AB向右平移1个单位,再向上平移1个单位,然后以原点O为位似中心,将其缩小为原来的,得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为(B)A.(4,3) B.(4,3)或(-4,-3) C.(-4,-3) D.(3,2)或(-3,-2)【提示】易得点A,B平移后的对应点的坐标为A'(8,6),B'(5,4),则点A'的对应点C的坐标为(4,3)或(-4,-3).12.已知点A的坐标为(0,3),点B的坐标为(－4,3),以原点O为位似中心,把线段AB缩短为原来的,其中点C与点A对应,点D与点B对应,则点D的坐标为(D)A. B.C. D.二、填空题13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A'B'C'顶点的横、纵坐标都是整数.若△ABC与△A'B'C'是位似图形,则位似中心的坐标为(8,0). 第13题图第14题图 第15题图14.如图,△ABO的顶点A的坐标为(－3,6),以原点O为位似中心,把△ABO扩大为原来的3倍,则与点A对应的点A'的坐标为(－9,18)或(9,－18). 15.如图,在平面直角坐标系中,点A,D的坐标分别为(－15,0),(－12,9).以点B为位似中心,作平行四边形ABCD的位似图形得到平行四边形EBFG,且相似比为3∶2,点C的对应点为F,则点F的坐标为(－2,－6)或(2,6). 16.如图,四边形ABCD是正方形,原点O是四边形ABCD和A'B'C'D'的位似中心,点B,C的坐标分别为(－8,2),(－4,0),B'是点B的对应点,且点B'的横坐标为－1,则四边形A'B'C'D'的周长为 . 第16题图第17题图 第18题图17.如图,直线y＝x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1∶2,则点B的对应点B'的坐标为(1,2)或(－3,－2). 18.如图,在平面直角坐标系中,矩形AOCB的两边OA,OC分别在x轴、y轴上,且OA＝2,OC＝1.在第二象限内,将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍,得到矩形A1OC1B1,再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍,得到矩形A2OC2B2,……以此类推,得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为 . 三、解答题19.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系,格点△ABC(顶点是网格线的交点)的顶点坐标分别是A(－2,2),B(－3,1),C(－1,0).(1)将△ABC先向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度,得到△DEF,画出△DEF;(2)以点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,在网格内画出放大后的△A1B1C1.若P(x,y)为△ABC中的任意一点,其对应点P1的坐标为(－2x,－2y). 解:(1)图略.(2)图略.20.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形,若点A的坐标为(－2,0),点D的坐标为(3,0),且BC＝3,求线段EF的长度.解:由题知△ABC∽△DEF,且OA＝2,OD＝3,∴△ABC与△DEF的相似比为2∶3.∵BC＝3,∴EF＝.21.【安徽合肥包河区期末】如图,在网格中(小正方形的边长为1),△ABC的三个顶点都在格点上.(1)把△ABC沿着x轴向右平移6个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;(2)请以点O为位似中心在第一象限内画出△ABC的位似图形△A2B2C2,使得△ABC与△A2B2C2的相似比为1∶2;(3)请写出△A2B2C2三个顶点的坐标.解:(1)图略.(2)图略.(3)△A2B2C2三个顶点的坐标分别为A2(6,0),B2(6,4),C2(2,6).22.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,－2).(1)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1,使它与△OAB的相似比为2∶1,并分别写出点A,B的对应点A1,B1的坐标.(2)画出将△OAB向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的△O2A2B2,并分别写出点A,B的对应点A2,B2的坐标.(3)判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗 若是,请在图中标出位似中心点M,并写出点M的坐标.解:(1)如图,△OA1B1为所作,点A1,B1的坐标分别为(4,2),(2,－4).(2)如图,△O2A2B2为所作,点A2,B2的坐标分别为(0,2),(－1,－1).(3)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形,如图,点M为所求,位似中心点M的坐标为(－4,2).23.【2021·黑龙江】在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其与△ABC的位似比为2∶1，且△A1B1C与△ABC位于点C的异侧，并写出点A1的坐标；解：如图，△A1B1C即为所作，点A1的坐标为(3，－3)；(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；解：如图，△A2B2C即为所作；(3)在(2)的条件下，求出点B所经过的路径长．解：CB＝＝，所以点B所经过的路径长＝＝π.24.【中考·盐城】如果两个一次函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．如图，已知函数y＝－2x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，一次函数y＝kx＋b与y＝－2x＋4是“平行一次函数”．(1)若函数y＝kx＋b的图象过点(3，1)，求b的值；解：由已知得k＝－2，把点(3，1)的坐标和k＝－2代入y＝kx＋b，得1＝－2×3＋b，∴b＝7.(2)若函数y＝kx＋b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，相似比为1:2，求函数y＝kx＋b的表达式．【点拨】本题考查了一次函数的应用，根据数形结合思想利用待定系数法进行分类讨论，即可求出函数表达式．解：如图，根据相似比为1∶2得函数y＝kx＋b的图象有两种情况：①不经过第三象限时，过点(1，0)和(0，2)，这时函数表达式为y＝－2x＋2；②不经过第一象限时，过点(－1，0)和(0，－2)，这时函数表达式为y＝－2x－2.中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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