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中小学教育资源及组卷应用平台圆中求线段长教学内容1、利用三角形相似；2、解三角形；3、等面积法．教学过程考点一:利用三角形相似例1．（2019 福田区三模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点A、B、D、E在圆O上，弧AE＝弧DE，连接BE交AE于F，∠BFC＝45°，EF＝2，BF＝4．（1）求AE的长；（2）求证：BC是圆O的切线；（3）求tan∠ABC．【解答】解：（1）∵弧AE＝弧DE∴∠DAE＝∠EBA，且∠AEF＝∠AEB∴△AEF∽△BEA∴∴AE2＝BE EF，且EF＝2，BF＝4．∴AE2＝2×6＝12∴AE＝2（2）连接OE交AD于点H，连接OB，∵△AEF∽△BEA∴∠BAE＝∠AFE＝∠BFC＝45°∴∠BOE＝90°，∵，OE是半径∴OE⊥AD，且∠C＝90°，∴OE∥BC，且∠BOE＝90°∴∠OBC＝90°，即OB⊥BC，∴BC是圆O的切线（3）∵BF＝4，∠C＝90°，∠BFC＝45°∴CF＝CB＝2∵∠EHF＝90°，EF＝2，∠EFH＝45°∴EH＝HF＝∴AH＝＝∴AC＝AH+HF+CF＝∴tan∠ABC＝＝＝训练1-1．（2021 龙岗区校级一模）如图，AC是⊙O的直径，点B、D是⊙O上一点，且BD＝BA，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝2CE，当AD＝6时，求BD的长．【解答】（1）证明：连接OB、OD，如图1所示：∵AB＝DB，AO＝DO，BO＝BO，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠ABO＝∠DBO，∵OA＝OB，∠BDC＝∠BAC，∴∠ABO＝∠BAC＝∠BDC，∴∠DBO＝∠BDC，∴OB∥DE，∵BE⊥DC，∴BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线；（2）解：延长BO交AD于点F，如图2所示：由（1）可知，∠ABO＝∠DBO，∵AB＝BD，∴BF⊥AD，AF＝DF＝AD＝3，∵∠BAF＝∠BCE，∠AFB＝∠E＝90°，BE＝2CE，∴△ABF∽△CBE，∴＝＝2，∴BF＝2AF＝6，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB＝＝＝3，∴BD＝AB＝3．训练1-2．（2019 南山区校级一模）如图所示，⊙O的半径为5，点A是⊙O上一点，直线l过点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD的延长线交直线l于点F，点A是的中点．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA＝8，求PB的长．【解答】（1）证明：连接DE，OA．∵PD是直径，∴∠DEP＝90°，∵PB⊥FB，∴∠DEP＝∠FBP，∴DE∥BF，∵＝，∴OA⊥DE，∴OA⊥BF，∴直线l是⊙O的切线．（2）解：连接AD．∵＝，∴∠APD＝∠APB，∵PD是直径，∴∠PAD＝90°，∴∠PAD＝∠ABP＝90°，∴△PDA∽△PAB，∴＝，∴＝，∴PB＝．例2．（2021 深圳）如图，AB为⊙O的弦，D，C为的三等分点，AC∥BE．（1）求证：∠A＝∠E；（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．【解答】（1）证明：∵AC∥BE，∴∠E＝∠ACD，∵D，C为的三等分点，∴＝＝，∴∠ACD＝∠A，∴∠E＝∠A，（2）解：由（1）知＝＝，∴∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E，∴BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，△CBD∽△BED，∴＝，即，解得DE＝，∴CE＝DE﹣CD＝﹣3＝．训练2-1．（2017 南山区二模）如图，已知，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点，连接OE，AC，且∠P＝∠E，∠POE＝2∠CAB．（1）求证：CE⊥AB；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）若BD＝2OD，且PB＝9，求⊙O的半径长和tan∠P的值．【解答】（1）证明：连接OC，∴∠COB＝2∠CAB，又∠POE＝2∠CAB．∴∠COD＝∠EOD，又∵OC＝OE，∴∠ODC＝∠ODE＝90°，即CE⊥AB；（2）证明：∵CE⊥AB，∠P＝∠E，∴∠P+∠PCD＝∠E+∠PCD＝90°，又∠OCD＝∠E，∴∠OCD+∠PCD＝∠PCO＝90°，∴PC是⊙O的切线；（3）解：设⊙O的半径为r，OD＝x，则BD＝2x，r＝3x，∵CD⊥OP，OC⊥PC，∴Rt△OCD∽Rt△OPC，∴OC2＝OD OP，即（3x）2＝x （3x+9），解之得x＝，∴⊙O的半径r＝，同理可得PC2＝PD PO＝（PB+BD） （PB+OB）＝162，∴PC＝9 ，在Rt△OCP中，tan∠P＝＝．训练2-2．（2021 南山区二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作线段CE，交DF于点B且EC＝ED．（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵OF⊥AB，∴∠DOA＝90°，∴∠A+∠ADO＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠OCA+∠ADO＝90°，∵∠ADO＝∠CDE，∴∠OCA+∠CDE＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵EC＝ED，∴∠DCE＝∠EDC，∴∠OCA+∠DCE＝90°，∴EC⊥OC，∴EC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE，∴∠CDE+∠ECF＝90°，∵∠CDE+∠F＝90°，∴∠ECF＝∠F，∴EC＝EF，∵EF＝3，∴EC＝DE＝3，∴OE＝＝＝5，∴OD＝OE﹣DE＝2，在Rt△OAD中，AD＝＝＝2，在Rt△AOD和Rt△ACB中，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD，∴Rt△AOD∽Rt△ACB，∴，即，∴AC＝．例3．（2018 南山区一模）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D、E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；（2）已知AC＝2，EB＝4CE，求⊙O的直径【解答】（1）证明：如图，连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°．∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，即∠DAB+∠CAF＝90°．∴∠CAF＝∠ABD．∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD．∴∠ABC＝2∠CAF．（2）如图，连接AE，∴∠AEB＝90°，设CE＝x，∵CE：EB＝1：4，∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，即（2）2＝x2+（3x）2，∴x＝2．∴BA＝10．训练3-1．（2021 龙岗区二模）如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE＝2，DE＝5，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，又∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠DBC，∴OD∥BE，∵DE⊥BE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）如图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠FCE＝90°，又∵∠FDE＝90°，∠DEC＝90°，∴四边形FDEC是矩形，∴DF＝CE＝2，FC＝DE＝5．设⊙O的半径为r，在Rt△OAF中（r﹣2）2+52＝r2，∴．训练3-2．（2021 坪山区一模）如图，BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点，连接AB、AC，AD⊥BC于点D，E是直径CB延长线上一点，且AB平分∠EAD．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若EC＝4，AD＝2BD，求EA．【解答】（1）证明：如图，连接OA，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵AB平分∠EAD，∴∠BAD＝∠BAE，∴∠ABD+∠BAE＝90°，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠OAB，∴∠OAB+∠BAE＝90°，∴∠OAE＝90°，∴OA⊥AE，OA是半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠C+∠ABC＝90°，∵∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠C＝∠BAD，∴tan∠C＝tan∠BAD，∵AD＝2BD，∴＝＝，∵∠E＝∠E，∠EAB＝∠C，∴△ABE∽△CAE，∴＝＝，∵EC＝4，∴AE＝2．例4．（★）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE＝DB；（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠BED＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠5+∠4＝∠DBE，∴DB＝DE；（2）解：连接CD，如图，∵∠BAC＝90°，∴BC为直径，∴∠BDC＝90°，∵∠1＝∠2，∴DB＝DC，∴△DBC为等腰直角三角形，∴BC＝BD＝4，∴△ABC外接圆的半径为2；（3）解：∵∠5＝∠2＝∠1，∠FDB＝∠BDA，∴△DBF∽△DAB，∴＝，即＝，∴AD＝9．训练4-1．（★）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7，∵DG平分∠ADF，∴∠1＝∠ADF，∵∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥AC；（2）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6，∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，即∠4＝∠DAI，∴DA＝DI；（3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA，∴△DAE∽△DBA，∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，∴DI＝6，∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．训练4-2．（★）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．（1）求证：AD平分∠CAB；（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG＝1．①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；②求⊙O的半径．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠CAD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠CAB．（2）①DF＝DH，理由如下：∵FH平分∠AFE，∴∠AFH＝∠EFH，又∠DFG＝∠EAD＝∠HAF，∴∠DFG＝∠EAD＝∠HAF，∴∠DFG+∠GFH＝∠HAF+∠HFA，即∠DFH＝∠DHF，∴DF＝DH．②设HG＝x，则DH＝DF＝1+x，∵OH⊥AD，∴AD＝2DH＝2（1+x），∵∠DFG＝∠DAF，∠FDG＝∠FDG，∴△DFG∽△DAF，∴，∴，∴x＝1，∵DF＝2，AD＝4，∵AF为直径，∴∠ADF＝90°，∴AF＝∴⊙O的半径为．考点二:解三角形例1．（2021 福田区一模）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA＝CD．（1）连接BC，求证：BC＝OB；（2）E是中点，连接CE，BE，若BE＝4，求CE的长．【解答】解：（1）如图，连接OC，AE，过点A作AM⊥CE，垂足为M，∵CD是⊙O的切线，∴∠CAB＝∠DCB，又∵CA＝CD，∴∠CAB＝∠CDB，∴∠DCB＝∠CDB，∴BC＝BD，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵∠CBA＝2∠CDB＝2∠CAB，∴∠CBA＝90°×＝60°，∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形，∴BC＝OB；（2）连接AE，过点A作AM⊥CE，垂足为M，∵E是中点，∴AE＝BE＝4，∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝×90°＝45°，在Rt△AEM中，AE＝4，∠AEM＝∠CBA＝60°，∴EM＝AE＝2，AM＝AE＝2，在Rt△ACM中，AM＝2，∠ACM＝45°，∴CM＝AM＝2，∴CE＝EM+CM＝2+2，答：CE的长为2+2．训练1-1．（2021春 深圳校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP＝AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB＝2+，BC＝4，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝4，∴BE＝BC＝2，CE＝2，∵AB＝2+，∴AE＝AB﹣BE＝，在Rt△ACE中，AC＝＝3，∴AP＝AC＝3．在Rt△PAO中，OA＝AP＝3，∴⊙O的半径为3．训练1-2．（2019 罗湖区一模）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于G，射线DO与直线CE相交于点E，直线DB与CE交于点H，且∠BDC＝∠BCH．（1）求证：直线CE是圆O的切线．（2）如图1，若OG＝BG，BH＝1，直接写出圆O的半径；（3）如图2，在（2）的条件下，将射线DO绕D点逆时针旋转，得射线DM，DM与AB交于点M，与圆O及切线CF分别相交于点N，F，当GM＝GD时，求切线CF的长．【解答】解：（1）如图1，∵CD⊥AB，∠4＝2∠2，∴∠1＝∠2，∴∠4＝2∠1，∵∠1＝∠BCH，∴∠DCH＝2∠1，∴∠4＝∠DCH，∵∠3+∠4＝90°，∴∠3+∠DCH＝90°，即∠OCH＝90°，∴直线CE是圆O的切线；（2）∵OG＝BG，且OB⊥CG，∴OC＝BC，又∵OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠BCH＝30°，∠4＝60°，∴∠H＝90°，∵BH＝1，∴OC＝BC＝2BH＝2，即圆O的半径为2；（3）如图2，过点F作FE⊥DC．交DC延长线于点E，∴∠CFE+∠FCE＝90°，∵OC⊥FC，∴∠OCG+∠FCE＝90°，∴∠CFE＝∠OCG，∴tan∠CFE＝tan∠OCG，即＝，设CE＝x，则EF＝x，∵GM＝GD，MG⊥CD，∴∠MDG＝45°，∵FE⊥ED，∴∠DFE＝90°﹣∠MDG＝45°＝∠MDG，∴EF＝ED＝EC+CD，又∵CD＝2CG＝2×＝2，∴x＝x+2，解得x＝3+，∴FC＝2EC＝6+2．考点三:等面积法例1．（2020 深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【解答】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵CD AE＝AC CE，∴CD＝＝．训练1-1．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线；（2）若BC＝2，sin∠BCP＝，求点B到AC的距离．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC＝90°，∴∠CAN+∠ACN＝90°，2∠BAN＝2∠CAN＝∠CAB，∵∠CAB＝2∠BCP，∴∠BCP＝∠CAN，∴∠ACP＝∠ACN+∠BCP＝∠ACN+∠CAN＝90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB＝AC，∠ANC＝90°，∴CN＝CB＝，∵∠BCP＝∠CAN，sin∠BCP＝，∴sin∠CAN＝，∴，∴AC＝5，∴AB＝AC＝5，设AF＝x，则CF＝5﹣x，在Rt△ABF中，BF2＝AB2﹣AF2＝25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2＝BC2﹣CF2＝2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2＝2O﹣（5﹣x）2，∴x＝3，∴BF2＝25﹣32＝16，∴BF＝4，即点B到AC的距离为4．训练1-2．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF：FD＝4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2，∵∠ADE＝∠1+∠B，∠DAE＝∠2+∠3，且∠B＝∠3，∴∠ADE＝∠DAE，∴ED＝EA，∵ED是⊙O的直径，∴∠DFE＝90°，∴EF⊥AD，∴点F是AD的中点；（2）解：连接DM，设EF＝4k，DF＝3k，则ED＝＝5k∵AD EF＝AE DM，∴DM＝＝＝，∴ME＝＝k∴cos∠AED＝＝挑战过关一．解答题（共5小题）1．（2016 深圳二模）如图，⊙O中，点A为中点，BD为直径，过A作AP∥BC交DB的延长线于点P．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若，AB＝6，求sin∠ABD的值．【解答】（1）证明：连接AO，交BC于点E．∵点A是的中点∴AO⊥BC，又∵AP∥BC，∴AP⊥AO，∴AP是⊙O的切线；（2）解：∵AO⊥BC，，∴，又∵AB＝6∴，∵OA＝OB∴∠ABD＝∠BAO，∴．2．（2018 深圳模拟）如图，△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC，P是△ABC外接圆⊙O上的一动点（点P与点C位于直线AB的异侧）连接AP、BP，延长AP到D，使PD＝PB，连接BD．（1）求证：PC∥BD；（2）若⊙O的半径为2，∠ABP＝60°，求CP的长；（3）随着点P的运动，的值是否会发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请给出证明．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵PD＝PB，∴∠PBD＝∠D＝45°，∴∠APC＝∠D＝45°，∴PC∥BD；（2）解：作BH⊥CP，垂足为H，∵⊙O的半径为2，∠ABP＝60°，∴BC＝2，∠BCP＝∠BAP＝30°，∠CPB＝∠BAC＝45°，在Rt△BCH中，CH＝BC cos∠BCH＝，BH＝BC sin∠BCH＝，在Rt△BHP中，PH＝BH＝，∴CP＝CH+PH＝+；（3）解：的值不变，∵∠BCP＝∠BAP，∠CPB＝∠D，∴△CBP∽△ABD，∴＝＝，∴＝，即＝．3．（2019 宝安区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O与Rt△ACD的两直角边分别交于点E、F，点F是弧BE的中点，∠C＝90°，连接AF．（1）求证：直线DF是⊙O的切线．（2）若BD＝1，OB＝2，求tan∠AFC的值．【解答】（1）证明：连接OF，BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠AEB＝∠ACD，∴BE∥CD，∵点F是弧BE的中点，∴OF⊥BE，∴OF⊥CD，∵OF为半径，∴直线DF是⊙O的切线；（2）解：∵∠C＝∠OFD＝90°，∴AC∥OF，∴△OFD∽△ACD，∴，∵BD＝1，OB＝2，∴OD＝3，AD＝5，∴，∴CD＝＝＝，∵，∴＝，∴tan∠AFC＝．4．（2021 罗湖区三模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，∴△OCB≌△OCD，∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线．（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（8﹣r）2＝r2+42，∴r＝3，∵tan∠E＝＝，∴＝，∴CD＝BC＝6，在Rt△ABC中，AC＝＝＝6．5．（2019 南山区校级三模）如图，已知Rt△ACE中，∠AEC＝90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B、C，与AC交于点D，与CE交于点F，连接BF．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若cos∠CBF＝，AE＝8，求⊙O的半径；（3）在（2）条件下，求BF的长．【解答】（1）证明：连接OB，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵CB平分∠ACE，∴∠OCB＝∠BCF，∴∠OBC＝∠BCF，∴∠ABO＝∠AEC＝90°，∴OB⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接DF交OB于G，∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，∴∠CFD＝∠CEA，∴DF∥AE，∴∠CDF＝∠CAB，∵∠CDF＝∠CBF，∴∠A＝∠CBF，∴cos∠A＝cos∠CEF＝，∵AE＝8，∴AC＝10，∴CE＝6，∵DF∥AE，∴DF⊥OB，∴DG＝GF＝BE，设BE＝2x，则DF＝4x，CD＝5x，∴OC＝OB＝2.5x，∴AO＝10﹣2.5x，AB＝8﹣2x，∵AO2＝AB2+OB2，∴（10﹣2.5x）2＝（8﹣2x）2+（2.5x）2，解得：x＝（负值舍去），∴⊙O的半径＝；（3）解：由（2）知BE＝2x＝3，∵AE是⊙O的切线；∴∠BCE＝∠EBF，∵∠E＝∠E，∴△BEF∽△CEB，∴，∴＝，∴EF＝，∴BF＝＝．21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台圆中求线段长教学内容1、利用三角形相似；2、解三角形；3、等面积法．教学过程考点一:利用三角形相似例1．（2019 福田区三模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点A、B、D、E在圆O上，弧AE＝弧DE，连接BE交AE于F，∠BFC＝45°，EF＝2，BF＝4．（1）求AE的长；（2）求证：BC是圆O的切线；（3）求tan∠ABC．训练1-1．（2021 龙岗区校级一模）如图，AC是⊙O的直径，点B、D是⊙O上一点，且BD＝BA，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝2CE，当AD＝6时，求BD的长．训练1-2．（2019 南山区校级一模）如图所示，⊙O的半径为5，点A是⊙O上一点，直线l过点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD的延长线交直线l于点F，点A是的中点．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA＝8，求PB的长．例2．（2021 深圳）如图，AB为⊙O的弦，D，C为的三等分点，AC∥BE．（1）求证：∠A＝∠E；（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．训练2-1．（2017 南山区二模）如图，已知，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点，连接OE，AC，且∠P＝∠E，∠POE＝2∠CAB．（1）求证：CE⊥AB；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）若BD＝2OD，且PB＝9，求⊙O的半径长和tan∠P的值．训练2-2．（2021 南山区二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作线段CE，交DF于点B且EC＝ED．（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．例3．（2018 南山区一模）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D、E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；（2）已知AC＝2，EB＝4CE，求⊙O的直径训练3-1．（2021 龙岗区二模）如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE＝2，DE＝5，求⊙O的半径．训练3-2．（2021 坪山区一模）如图，BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点，连接AB、AC，AD⊥BC于点D，E是直径CB延长线上一点，且AB平分∠EAD．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若EC＝4，AD＝2BD，求EA．例4．（★）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE＝DB；（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长．训练4-1．（★）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．训练4-2．（★）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．（1）求证：AD平分∠CAB；（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG＝1．①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；②求⊙O的半径．考点二:解三角形例1．（2021 福田区一模）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA＝CD．（1）连接BC，求证：BC＝OB；（2）E是中点，连接CE，BE，若BE＝4，求CE的长．训练1-1．（2021春 深圳校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP＝AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB＝2+，BC＝4，求⊙O的半径．训练1-2．（2019 罗湖区一模）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于G，射线DO与直线CE相交于点E，直线DB与CE交于点H，且∠BDC＝∠BCH．（1）求证：直线CE是圆O的切线．（2）如图1，若OG＝BG，BH＝1，直接写出圆O的半径；（3）如图2，在（2）的条件下，将射线DO绕D点逆时针旋转，得射线DM，DM与AB交于点M，与圆O及切线CF分别相交于点N，F，当GM＝GD时，求切线CF的长．考点三:等面积法例1．（2020 深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．训练1-1．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线；（2）若BC＝2，sin∠BCP＝，求点B到AC的距离．训练1-2．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF：FD＝4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值．挑战过关一．解答题（共5小题）1．（2016 深圳二模）如图，⊙O中，点A为中点，BD为直径，过A作AP∥BC交DB的延长线于点P．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若，AB＝6，求sin∠ABD的值．2．（2018 深圳模拟）如图，△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC，P是△ABC外接圆⊙O上的一动点（点P与点C位于直线AB的异侧）连接AP、BP，延长AP到D，使PD＝PB，连接BD．（1）求证：PC∥BD；（2）若⊙O的半径为2，∠ABP＝60°，求CP的长；（3）随着点P的运动，的值是否会发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请给出证明．3．（2019 宝安区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O与Rt△ACD的两直角边分别交于点E、F，点F是弧BE的中点，∠C＝90°，连接AF．（1）求证：直线DF是⊙O的切线．（2）若BD＝1，OB＝2，求tan∠AFC的值．4．（2021 罗湖区三模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的长．5．（2019 南山区校级三模）如图，已知Rt△ACE中，∠AEC＝90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B、C，与AC交于点D，与CE交于点F，连接BF．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若cos∠CBF＝，AE＝8，求⊙O的半径；（3）在（2）条件下，求BF的长．21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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