一. (10 分) 计算 \(\displaystyle \iint_{D} \frac{3 x}{y^{2}+x y^{3}} d x d y\), 其中 \(D\) 为由 \(x y=1, x y=3, x=y^{2}, 3 x=y^{2}\) 所围成 有界区域.
二. (10 分) 设 \(\left\{F_{k}\right\}_{k \geq 1}\) 为 \(R^{2}\) 中的一族有界闭集, 单调下降 (即: \(F_{k} \supset F_{k+1}, k \geq 1\) ), 请用实数连续性定理的任一种等价刻划方式来证明: \(\displaystyle\bigcap_{k \geq 1} F_{k} \neq \varnothing\).
三. (10 分) 设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上可微, 且 \(f(x)\) 在 0 处的右导数 \(f_{+}^{\prime}(0)0, \quad f^{\prime}(x) \neq 0, \quad\left|x+\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}\right| \geq 1, \quad \forall x \in[-1,1] .\]
证明: 在任意开区间 \((a, b) \subset(-1,1)\) 上成立
\[f(x)0\). 证明: 对任意 \(x_{1} \in\left(x_{0}-r_{0}, x_{0}+r_{0}\right), f\) 在 \(x_{1}\) 也可以展开为收敛的幂级数\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{1}\right)}{n !}\left(x-x_{1}\right)^{n}, \quad \forall x \in\left(x_{1}-r_{1}, x_{1}+r_{1}\right),\]其中
\[r_{1} \geq \frac{1}{2}\left(r_{0}-\left|x_{1}-x_{0}\right|\right) .\]高等代数四、令 \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\) 是 \(n \times n\) 复方阵, 且 \(A\) 有 \(n\) 个不同的特征值. 设 \(V_{A}\) 是 \(\mathbb{C}^{n \times n 中}\) 中所有形如 \(B A-\) \(A B\) 的矩阵的全体构成的子空间. 求 \(V_{A}\) 作为复线性空间的维数.
五、记 \(\mathbb{C}^{n \times n}\) 是 \(n \times n\) 复方阵全体构成的空间. 令 \(A=\left(a_{i j}\right), B=\left(b_{i j}\right) \in \mathbb{C}^{n \times n}\) 是 \(n \times n\) 复方阵. 定义线性变换 \(T: \mathbb{C}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{C}^{n \times n} ; M \mapsto A M B\).
(1) 求 \(T\) 的所有特征值(计代数重数)之和, 答案用 \(a_{i j}, b_{i j}\) 表示.
(2) 证明: \(T\) 幂零当且仅当 \(A\) 或 \(B\) 至少有一个幂零.
六、令 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 是可逆 \(n \times n\) 实方阵.
(1) 证明: 存在唯一的实正交阵 \(P \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 和唯一的实对称正定阵 \(H \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 使得 \(A=P H\).
(2) 证明: 在(1)中, \(P H=H P\) 当且仅当 \(A A^{T}=A^{T} A\).
2023 南大数学夏令营/直博笔试数学分析( 10 分) 设 \(a_{1}>2\), 且当 \(n \geq 1\) 时 \(a_{n+1}=\dfrac{a_{n}^{2}}{2\left(a_{n}-1\right)}\). 问：数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 收敛吗? 请说明理由.
(10 分) 证明: \(\sum\limits_{k=1}^{n} \sin \sqrt{k}=O(\sqrt{n}) \quad(n \rightarrow \infty)\).
(15 分) 设 \(f \in C^{2}(\mathbb{R})\), 且 \(f \geq 0, f^{\prime \prime} \leq 1\). 证明 \(\left(f^{\prime}\right)^{2} \leq 2 f\).
( 15 分) 设 \(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) 处处可微, 且
\[\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\| \leq\|x-y\|, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}^{n}\]证明
\[|f(y)-f(x)-\nabla f(x) \cdot(y-x)| \leq \frac{1}{2}\|x-y\|^{2}, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}^{n}\]高等代数一. 计算题（总共 30 分)
求三维空间中由四点 \(A=(1,1,1), B=(8,4,2), C=(27,9,3), \quad D=\) \((64,16,4)\) 组成的三棱雉体积. (10 分)
已知 \(n \times n\) 实对称矩阵 \(A\) 的特征值为 \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\), 求 \(2 n \times 2 n\) 矩阵 \(B=\) \(\left(\begin{array}{ll}A & I_{n} \\ I_{n} & A\end{array}\right)\) 的特征值, 这里的 \(I_{n}\) 表示 \(n \times n\) 单位矩阵. (10 分)
设实数域上的矩阵 \(A=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 9 \\ 0 & 6 & 0\\ 9 & 0 & 3\end{array}\right)\), 求正交矩阵 \(T\), 使得 \(T^{-1} A T\) 为对角矩阵, 并写出这个对角矩阵. (10 分)
二. 证明题（总共 20 分)
假设 \(A, B\) 是两个 \(6 \times 6\) 的幕零矩阵, 具有相同的秩和相同的最小多项式. 求 证 \(A, B\) 相似. (10 分)
设 \(A, B\) 是两个 \(n \times n\) 的复方阵, 令 \(C=A B-B A\). 如果 \(A C=C A\), 证明: 存 在正整数 \(m\) 使得 \(C^{m}=0\). (10 分)
实分析一. (15分) 设 \(f(x), f_{n}(x), x \in[0,1], n=1,2,3, \cdots\) 是定义在闭区间 \([0,1]\) 上的一列勒贝格可积函数; 试分别给 出 \(f_{n}\) 几乎处处收敛、依测度收敛及在勒贝格可积函数空间 \(L([0,1])\) 中收敛于 \(f\) 的定义并讨论这三种收敛之 间关系.
二. (10分)试构造闭区间 \([0,1]\) 上的黎曼可积函数列 \(f_{n}, n=1,2,3, \cdots\) 使得 \(f_{n}\) 是 \(L([0,1])\) 意义下的Cauchy列, 即对任给 \(\epsilon>0\), 存在 \(N \in \mathbb{N}\) 使得对任意的 \(m, n>N\) 有
\[\int_{0}^{1}\left|f_{m}(x)-f_{n}(x)\right| \mathrm{d} x