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2024丘成桐女子数学竞赛试题题1，证明：对任意m阶正定是对称矩阵A,B,均有Wdet(A+B)≥VdetA+Vdet B并说明等号成立的条件，题2.已知0odr=,求0°(r)2d,0(n)3dr.题3.GL(,C)为所有级可逆复矩阵构成的集合，T,为其中所有的上三角矩阵构成的子集.矩阵P∈GL(m,C),定义集合PTnP-1={PAP-A∈Tn}.求∩PTnP-1P∈GL(n,C)题4.计算级数：∑(-1)03"n(+1/2三1题5.f:2(R)→R为连续函数，满足(A)=f(A2)对任意A∈山2(R)成立，求所有这样的∫.题asrg={（么）h.bodcZ.de4=l1)求所有SL(2,Z)中的有限阶元的阶的所有可能值；阅求所有的：eC使得Im:>且{A=（C9）A∈S,幻，器-中至少有3个元素2024丘成桐女子数学竞赛参考解析题1.证明：对任意n阶正定对称矩阵A,B,均有√/det(A+B)≥detA+VdetB,并说明等号成立的条件【解析】由实对称正定矩阵的性质可知，存在实对称正定矩阵Q使得A=Q2.记X=QBQ1,易知其为正定对称矩阵，且det(X)=积于是要证的不等式等价于V√det(I,+X)≥1+V√det(X).设X的特征值（何重）为，…，>0则只需证明(1+》≥1+音中也即证明1≥（中）片+()片，注意到+空中+月5=11+x所以原不等式成立，且等号成立当且仅当x1=·=m,即B=kA(>0)题2.已知0o'dr=,求0o(m)2dr,()3dr【解析】2sint cos-dxsin2x十00sin xdx=sin3sin a sin 3asin 3x-3 sin a+odxo428a23cos -3 cos32dr=3+o-2sin2号+2sin2ydx=3+-sin2xdr8x28J8Jx29 ftoo sin233xdx=4 Joa证8题3.GL(n,C)为所有n级可逆复矩阵构成的集合.Tn为其中所有的上三角矩阵构成的子集.矩阵P∈GL(n,C),定义集合PTnP-1={PAP-lA∈Tn}.求∩PTnP-1PEGL(n,C)【解析】设X∈∩PTnP-l,则对P∈GL(m,C),X∈PTnP-l,即P-lXP∈TnPEGL(n.C)取单位阵P=Im,可得X∈T,.我们下面说明X必为对角矩阵：若存在1≤iP=In+Eij Ei-Eii-Eij,则P-1=P.注意到P-1Y表示交换Y的i,j行，YP表示交换Y的i,j列因此，P-1XP的(G,)元素为X≠0，从而P-1XP生T,矛盾.若X的某两个对角元素不相等，不妨设Xt≠X·令P=In+E,则P-1=In-E,.注意到P-1Y表示Y的第i行减去第j行，YP表示Y的第)列加上第i列，因此P-1XP=X+(Xii-Xjj)Eij.又因为P-1XP∈∩PTnP-l,这说明P-1XP是对角阵，矛盾.P∈GL(n,C)综上所述，X∈∩PTnP-1→X=kIn,反之亦然，PEGL(n.C)因此∩PTnP-1={kIn:k≠0，k∈CPEGL(n,C)题4.计算级数：∑②(-1)n=1【解折】考虑)=艺二=-n-小-三前两个幂级数都在(-1,1)内闭一致收敛则g)=艺=2)-)只需求(-D”注意=2+空品=2+2-ran=0=-2+201+12dt=-2+V从而g-)=4-2n号-2

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