在介绍三角函数定积分计算之前,,, 首先介绍一些有关函数对称性的基础知识

结论一:对于复合函数f[u(x)],如果内层函数u(x)关于区间[a,b]对称,则f[u(x)]关于[a,b]对称结论一: 对于复合函数f[u(x)], 如果内层函数u(x)关于区间[a,b]对称, 则f[u(x)]关于[a,b]对称结论一:对于复合函数f[u(x)],如果内层函数u(x)关于区间[a,b]对称,则f[u(x)]关于[a,b]对称

证明: 因为 u ( x ) u(x)u(x)关于 [ a , b ] [a,b][a,b]对称 , ,, 所以 u ( x ) = u ( 2 ∗ a+b 2− x ) = u ( a + b − x ) u(x) =u(2*\frac{a+b}{2}-x)=u(a + b-x)u(x)=u(2∗2a+b​−x)=u(a+b−x) 令 F ( x ) = f [ u ( x ) ] , F(x) = f[u(x)],F(x)=f[u(x)], 则 F ( a + b − x ) = f [ u ( a + b − x ) ] = f [ u ( x ) ] = F ( x ) F(a+b-x) = f[u(a+b-x)]=f[u(x)]=F(x)F(a+b−x)=f[u(a+b−x)]=f[u(x)]=F(x) 故 F ( x ) F(x)F(x)关于区间 [ a , b ] [a,b][a,b]对称

结论二:如果u(x)关于区间[a,b]中心对称,则f[u(x)]的对称性和外层函数f(x)的奇偶性保持一致结论二: 如果u(x)关于区间[a,b]中心对称, 则f[u(x)]的对称性和外层函数f(x)的奇偶性保持一致结论二:如果u(x)关于区间[a,b]中心对称,则f[u(x)]的对称性和外层函数f(x)的奇偶性保持一致

值得注意的是: 这里要求的是内层函数关于积分区间中心对称,,, 而外层函数不是关于积分区间的对称性而是奇偶性

证明 u ( a + b − x ) = − u ( x ) u(a+b-x)=-u(x)u(a+b−x)=−u(x) F ( a + b − x ) = f [ u ( a + b − x ) ] = f [ − u ( x ) ] F(a+b-x) = f[u(a+b-x)]=f[-u(x)]F(a+b−x)=f[u(a+b−x)]=f[−u(x)] 当 f ( x ) f(x)f(x)为偶函数时 , ,, F ( a + b − x ) = f [ − u ( x ) ] = f [ u ( x ) ] = F ( x ) , F(a+b-x)=f[-u(x)]=f[u(x)]=F(x),F(a+b−x)=f[−u(x)]=f[u(x)]=F(x), 即 F ( x ) F(x)F(x)关于 [ a , b ] [a,b][a,b]对称 当 f ( x ) f(x)f(x)为奇函数时 , ,, F ( a + b − x ) = f [ − u ( x ) ] = − f [ u ( x ) ] = − F ( x ) , F(a+b-x)=f[-u(x)]=-f[u(x)]=-F(x),F(a+b−x)=f[−u(x)]=−f[u(x)]=−F(x), 即 F ( x ) F(x)F(x)关于 [ a , b ] [a,b][a,b]中心对称

结论三:f(x)关于区间[a,b]对称,则∫ a b f(x)dx=2∫ a a+b 2f(x)dx结论三: f(x)关于区间[a,b]对称, 则\int_a^bf(x)dx=2\int_a^{\frac{a+b}{2}}f(x)dx结论三:f(x)关于区间[a,b]对称,则∫ab​f(x)dx=2∫a2a+b​​f(x)dx

结论四:f(x)关于区间[a,b]中心对称,则∫ a b f(x)dx=0结论四: f(x)关于区间[a,b]中心对称, 则\int_a^bf(x)dx=0结论四:f(x)关于区间[a,b]中心对称,则∫ab​f(x)dx=0

结论五:在三角函数的积分计算和证明中,常令x=π 2 ±u或x=π±u结论五: 在三角函数的积分计算和证明中, 常令x=\frac{\pi}{2}\pm u或x=\pi \pm u结论五:在三角函数的积分计算和证明中,常令x=2π​±u或x=π±u

结论六:有根号且根号内有平方的,一般使用三角换元结论六:有根号且根号内有平方的, 一般使用三角换元结论六:有根号且根号内有平方的,一般使用三角换元

∫ a bf ( x ) d x =∫ a bf ( a + b − x ) d x =1 2 ∫ a b[ f ( a + b − x ) + f ( x ) ] d x =∫ aa+b2[ f ( a + b − x ) + f ( x ) ] d x \int_a^bf(x)dx = \int_a^bf(a+b-x)dx = \frac{1}{2} \int_a^b[f(a+b-x) + f(x)]dx = \int_a^{\frac{a+b}{2}}[f(a+b-x) + f(x)]dx∫ab​f(x)dx=∫ab​f(a+b−x)dx=21​∫ab​[f(a+b−x)+f(x)]dx=∫a2a+b​​[f(a+b−x)+f(x)]dx

证明: 换元换变元 , ,, 令 u = a + b − x u=a+b-xu=a+b−x∫ a bf ( x ) d x =∫ b af ( a + b − u ) d ( − u ) =∫ a bf ( a + b − u ) d u=定积分与变元符号无关 ∫ a bf ( a + b − x ) d x \int_a^bf(x)dx = \int_b^af(a+b-u)d(-u)=\int_a^bf(a+b-u)du \xlongequal{定积分与变元符号无关}\int_a^bf(a+b-x)dx∫ab​f(x)dx=∫ba​f(a+b−u)d(−u)=∫ab​f(a+b−u)du定积分与变元符号无关 ∫ab​f(a+b−x)dx 令 F ( x ) = f ( a + b − x ) + f ( x ) , F(x) = f(a+b-x) + f(x),F(x)=f(a+b−x)+f(x), 可以得到 F ( x ) F(x)F(x)关于 [ a , b ] [a,b][a,b]对称 , ,, 故1 2 ∫ a bF ( x ) d x =∫ aa+b2F ( x ) d x \frac{1}{2} \int_a^bF(x)dx = \int_a^{\frac{a+b}{2}}F(x)dx21​∫ab​F(x)dx=∫a2a+b​​F(x)dx

根据区间再现的思想,,, 其实也可以得到一些其他的区间再现公式. 例如令u= a bx ,u=\frac{ab}{x},u=xab​, 则有∫ a b f(x)dx=∫ b a f( a bu )d( a bu ),\int_a^bf(x)dx = \int_b^af(\frac{ab}{u})d(\frac{ab}{u}),∫ab​f(x)dx=∫ba​f(uab​)d(uab​), 之前在一本复习书中看到过,,, 但实际做题没怎么遇到过这种情况

计算:∫ 0π 4xc o s (π4 − x ) ∗ c o s xdx: \int_0^\frac{\pi}{4}\frac{x}{cos(\frac{\pi}{4}-x)*cosx}dx:∫04π​​cos(4π​−x)∗cosxx​dx

已知f(x)f(x)f(x)连续,,, 证明重要推论::: ∫ 0π 2f(sinx)dx=∫ 0π 2f(cosx)dx\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx= \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx)dx∫02π​​f(sinx)dx=∫02π​​f(cosx)dx∫ 0 π xf(sinx)dx=π 2 ∫ 0 π f(sinx)dx= 区间拆分+结论五π∫ 0π 2f(sinx)dx\int_0^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2} \int_0^{\pi}f(sinx)dx\xlongequal{区间拆分+结论五}\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx∫0π​xf(sinx)dx=2π​∫0π​f(sinx)dx区间拆分+结论五π∫02π​​f(sinx)dx∫ 0π 2f(sinx,cosx)dx=∫ 0π 2f(cosx,sinx)dx\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx,cosx)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx,sinx)dx∫02π​​f(sinx,cosx)dx=∫02π​​f(cosx,sinx)dx这个公式说明在区间[0,π 2 ][0,\frac{\pi}{2}][0,2π​]上cosxcosxcosx和sinxsinxsinx对换不改变定积分的值

点火公式大家都非常熟练了,,, 这里直接介绍它的几个衍生版本,,, 当做熟悉对称性的使用

∫ 0 π sin n xdx:\int_0^{\pi}sin^nxdx:∫0π​sinnxdx:复合函数由内层sinxsinxsinx和外层x n .x^n.xn. 且内层函数sinxsinxsinx在积分区间[0,π][0,\pi][0,π]上对称,,, 故可由结论一和结论三化简∫ 0 π cos n xdx:\int_0^{\pi}cos^nxdx:∫0π​cosnxdx:复合函数由内层cosxcosxcosx和外层x n .x^n.xn. 且内层函数cosxcosxcosx在积分区间[0,π][0,\pi][0,π]上中心对称,,, 故需要判断x n x^nxn的奇偶性

将任意区间 [ a , b ][a,b] [a,b]化简为 [ 0 , 1 ][0,1] [0,1]

其实原理就是找到一个单调函数x=f(t), x=f(t), x=f(t), 使得f(0)=a,f(1)=b f(0)=a, f(1)=b f(0)=a,f(1)=b

类比通过两点 ( a , 0 ) , ( b , 1 )(a,0),(b,1) (a,0),(b,1)建立直线方程 ,, , 得到公式x−ab−a =t−01−0 ,\frac{x-a}{b-a} = \frac{t-0}{1-0}, b−ax−a​=1−0t−0​,即 x = a + ( b − a ) ∗ tx=a+(b-a)*t x=a+(b−a)∗t

计 算 :∫ab(x−a)(b−x) d x =(b−a) 2 8 π计算:\int_a^b \sqrt{(x-a)(b-x)}dx=\frac{(b-a)^2}{8}\pi 计算:∫ab​(x−a)(b−x) ​dx=8(b−a)2​π

将任意区间 [ a , b ][a,b] [a,b]化简为 [ −π2 ,π2 ][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] [−2π​,2π​]

类似上面的方法得到x−ab−a =t+π 2 π ,\frac{x-a}{b-a} = \frac{t+\frac{\pi}{2}}{\pi}, b−ax−a​=πt+2π​​, 化简后得到 x =a+b2 +b−a22π tx=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\frac{2}{\pi}t x=2a+b​+2b−a​π2​t 我们知道有根号且根号内有平方的 ,, ,一般使用三角换元 ,, ,例如 ∫a 2 ±x 2d x\int\sqrt{a^2\pm x^2}dx ∫a2±x2 ​dx和 ∫1 a 2±x 2 d x ,\int\frac{1}{\sqrt{a^2\pm x^2}}dx, ∫a2±x2 ​1​dx, 因此使用 s i n tsint sint替换 t ,t, t,但二者在 [ −π2 ,π2 ][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] [−2π​,2π​]上表示的范围并不相等 ,, , 因此需要乘上系数 kk k保证二者范围相同. 而在 [ −π2 ,π2 ][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] [−2π​,2π​]上sint的范围恰好是2π t\frac{2}{\pi}t π2​t的范围 ,, , 因此公式变为 x =a+b2 +b−a2 s i n tx=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}sint x=2a+b​+2b−a​sint

其实公式1的简化最后还是用到了三角换元 ,, , 只是因为基本积分公式里面有 ∫a 2 −x 2d x ,\int\sqrt{a^2- x^2}dx, ∫a2−x2 ​dx, 所以使用 tt t即可

计 算 :∫ab1( x − a ) ( b − x )d x = π计算: \int_a^b\frac{1}{ \sqrt{(x-a)(b-x)}}dx=\pi 计算:∫ab​(x−a)(b−x) ​1​dx=π

F(x)=(x−a)(x+a)为偶函数;F(x) = (x-a)(x+a)为偶函数;F(x)=(x−a)(x+a)为偶函数;根据偶函数∗偶函数=偶函数,偶函数∗奇函数=奇函数,可以推广如下形式:根据偶函数*偶函数=偶函数, 偶函数*奇函数=奇函数, 可以推广如下形式:根据偶函数∗偶函数=偶函数,偶函数∗奇函数=奇函数,可以推广如下形式:F(x)=∏i = 1N (x−i)(x+i)为偶函数,G(x)=∏i = 1N (x−i)(x+i)x为奇函数,给出几个相关的函数图像F(x) =\prod_{i=1}^N(x-i)(x+i)为偶函数, G(x) =\prod_{i=1}^N(x-i)(x+i)x为奇函数, 给出几个相关的函数图像F(x)=∏i=1N​(x−i)(x+i)为偶函数,G(x)=∏i=1N​(x−i)(x+i)x为奇函数,给出几个相关的函数图像奇函数

偶函数 将其整体向左平移,,, 函数可能会变成F(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4),F(x) = x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4),F(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4), 此时为关于x=−2x=-2x=−2中心对称的函数