高等代数题目

1. σ²=σ
则所有本征值满足x^2=x
解得x=1或0

2. 本征值是1
3. 向量空间的秩，就是求出极大无关组，数一下其中向量个数即可

4. 用正交变换化标准型步骤：先求出特征值，特征向量，然后将这些特征向量拼成的矩阵，施密特正交化，即可

高等代数考研题

感觉题目有点问题，最后应该是证明：V可分解为两个正交的二维A不变子空间的直和，否则A作为一个变换怎么分解为直和？

我得想法：
V是4维空间，则A的特征多项式为4次，又没有实特征值，从而特征多项式一定是两个实数域不可约二次多项式的乘积。
A在4维复空间内一定存在复特征值，且其虚部不为0，共轭成对，令为a1 ib1,a1-ib1,a2 ib2,a2-ib2，b1和b2都不为0，易知共轭的特征值对应的特征向量也共轭，从而，一对共轭特征值对应于两个4维实数列向量u,v，且
A(u iv)=(a1 ib1)(u iv)，则

Au=a1u-b1v,
Av=a1v b1u，(1)
u，v线性无关，否则令u=hv,则带入(1)，可得到(h*h 1)*b1=0，这是不可能的，所以u,v线性无关
由（1）得u,v的生成子空间即为V在A下的一个不变子空间，同理可得另一个不变子空间。因为不同特征值的特征向量线性无关，从而这两个不变子空间的直和为V

这两个子空间的正交性还不知道怎么证明...

高等代数 题目

设1 x x^2 … x^(n-1)的根为z(1)，z(2)，…，z(n-1)，它们是n次单位根。根据题设，1 x x^2 … x^(n-1)能整除前面那个多项式，因此把前面那个多项式里的x依次换成z(1)，z(1)，z(2)，…，z(n-1)后，并利用[z(i)]^n=1，i=1，2，…，n-1就得到一个齐次方程组，这方程组的未知数是fi(1)，i=1，2，…，n-1，而系数矩阵的行列式是Vandermonde行列式，因此不为0，所以该齐次方程组只有0解，换句话说就是你要证的结论。

研究生考试高等代数与数学分析试题

给你几个参考一下吧，
http://kaoyan.eol.cn/article/20031127/3095033.shtml
http://www.kuakao.com/SmallClass.asp?typeid=66&BigClassID=330&smallclassid=332
去书店买一本，二十左右。

东北大学 数学系 数学分析 高等代数 考研试题

不同的学校对于其数学系考研基础课程数学分析和高等代数的总分是不一样的。对于现在的大部分学校来讲单科满分都是150分的。

对于北大和复旦的分数有一定的变化，北大之前满分是100分，现在只看到了12年试题但是没有总分计算（由于数学分析是11个题目所以总分估计应在是150），而对于北大的高等代数还是要考察解析几何的所以内容上相对多一些总分也是150.

对于复旦，之前的情况是分析和高代都是在同一张卷子上的满分是150分其中高等代数占45分，数学分析占105分。现在复旦大学考察内容增加了，分析内容除了考察数学分析以外还会有常微分方程和实变函数，其中分析分析比重变为90，其余是30 30。而代数方面除了考察高等代数外还有抽象代数部分内容（占45分）。

以上是中国数学最好的学校。其他高校内容都是分析和高代没有其他分数也都是150，中科院的试卷同样如此，内容和其他高校相同。

高等代数 题目 指教

用反证法，假设f(x)在有理域Q上可约，那么f(x)必在整数环Z上可约，因此可设f(x)=g(x)h(x)，其中g(x)，h(x)都是整系数多项式，并且次数都小于n，然后由已知条件可以得到f(a(i))=g(a(i))h(a(i))=-1，i=1,2,…，然后考虑多项式g(x) h(x)，这个多项式次数小于n，并且在a(1)，a(2)，…，a(n)这n个不同的数上的值为0，因此g(x) h(x)=0，所以就得到f(x)=-[g(x)]^2，比较首项的系数即得矛盾。