美国普特南大学生数学竞赛题
连接任意三个点ABC组成三角形，假设BC是最长 边，AB、或BC是最短边，我们先设AB是最短边，在弧AB上找一个任意点D，连接AD、BD，组成三角形ADB。
在同一个圆中，弧AB＞AD，弧AB＞BD。并且弧AB对应的弦是线段AB，弧AD对应的弦是线段AD，弧BD对应的弦是线段BD，所以线段AB＞AD、AB＞BD。
同样，假如AC是最短边，那么在弧AC上的点F，连接AF、CF，组成三角形AFC。也能得出线假AC＞AF 、AC＞CF。
假如除点A、B、C三点组成三角形ABC，另外三个点都在长边BC的弧BC上，如下图所示，
连接任意点都能组成以BC为长边的三角形BC＊，（＊代表D、E、F任一点）假如选择连接BD、DC组成三角形BCD，那么总能找出另一个三角形（连接DE、EC或DF、FC）△DEC或△DFC。根据长弧对长弦，那么线段CD分别是△DEC或△DFC的最长边
急求历届AMC（美国数学邀请赛）试题
http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/AMC_12_Problems_and_Solutions 刚好知道这个美国网站。有答案的。
美国数学邀请赛题
1.第32届美国数学邀请赛题)不等边△ABC的两条高度分别为4和12,若第三条高的长度也是整数,试求它的长.
解：设不等边△ABC面积为S，不妨设AB边上的高为12，BC边上的高为4，则由面积公式可推出AB＝S/6，BC＝S/2，设AC边上的高为X，则可得X＝2S/X
因为三角形任意两边之和大于第三边
所以AB＋BC>AC，即S/6＋S/2>2S/X
消去S解得X>3
因为三角形任意两边之差小于第三边
所以BC＋AB
所以3
当X＝4时，AC＝S/2＝BC，不合题意（题目为不等边三角形）
所以取X=5
即是所求的长
美国数学竞赛题
设直径是10a b 则弦长=10b a 则a，b都是1至9之间的整数，且a>b 把弦和直径的一端重合，把另一端相连，构成一个直角三角形 过 圆心做垂直于弦的垂线，这就是弦心距，显然由相似三角形可以看出，弦心距=直径和弦另一端连线的一半 而(弦另一端连线)^2=(10a b)^2-(10b a)^2=100a^2 b^2-100b^2-a^2 =99(a^2-b^2) 因为弦心距是一个有理数，所以99(a^2-b^2)是完全平方数 99(a^2-b^2)=3^2*11(a^2-b^2) 所以a^2-b^2=11k^2 (a b)(a-b)=11或44， 若=11则 a b=11,a-b=1 a=6,b=5 若=44则 a b=44,a-b=1 a b=22,a-b=2 这二种情况都不符合题意 所以这个圆的直径=65
2013数学建模美赛题目A和B的中文翻译
A ：
当用方形的平底锅烤饼时，热量会集中在四角，食物就在四角（甚至还有边缘）烤焦了。在一个圆形的平底锅热量会均匀分布在整个外缘，食物就不会被边缘烤焦。但是，因为大多数烤箱是矩形的，使用圆形的平底锅不那么有效率。建立一个模型来表现热量在不同形状的平底锅的外缘的分布——包括从矩形到圆形以及中间的形状。
试构建一个模型来显示通过不同锅底的外沿热量的分布情况：方形到圆形极其两者之间的其他形状。
假定：
1. 方形烤箱宽长比为W/L；
2. 所有参考锅的面积必须为A；
3. 最初烤箱的两个支架均衡放置。
构建一个模型用于在如下情境下筛选最佳锅型：
1. 适合该烤炉(N)的最大锅型数；
2. 最大化均匀热度分布(H)的锅型；
3. 最优化条件(1)和 (2)，各自占有比率为p 和 (1- p)用以描述W/L与p的差异性。
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B：可利用淡水资源的匮乏
淡水资源匮乏已经成了世界很多国家发展的瓶颈。
建立某一国2013年的水资源战略数学模式，确定一个高效的、实际可行的、高效率利用成本的水资源战略来满足该国（美国，中国，俄罗斯，埃及或特阿拉伯，任选一个）2025年的预期水资源需求，并且确定最佳的水资源战略。尤其要注意的是，你所建立的数学模式必须考虑该国水资源储量和流动规律、海水淡水处理发展状况和水资源保护状况。可能的话，应用你所建立的模式讨论该模式可能产生的对经济、地理和环境方面的影响，为该国领导层提供一份非技术性的政府立场报告，并在该报告中概略介绍你的方法、该方法的可行性和成本核算，以及为什么该方是“最佳的战略选择”。
可选择的国家：美国，中国，俄罗斯，埃及或沙特阿拉伯